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H. Liebmann 
Man braucht nun nur noch die Transformation 
x^ = X-\-iY, z^ = — X -\r iY, y^= ^ 
hinzuzufügen, um eine Liesche Geraden-Kugeltransformation 
zu erhalten. 
2. Die verallgemeinerte Geraden-Kugeltransformation.^) 
Um jetzt eine Transformation zu erhalten, welche die 
Punkte P in die Tangenten u‘ einer Fundamentalfläche zweiten 
Grades X‘ überführt, braucht man noch eine Punktverwandt- 
schaft (P' — *0,'^-, die den Treffgeraden s' von K‘ die Tan- 
genten u' von Z' zuordnet (s' — 
Eine solche Verwandtschaft erhält man in folgender Weise : 
Zunächst muß Z‘ den Kegelschnitt K‘ enthalten. Jede Treff- 
gerade s' schneidet dann Z' noch in einem weiteren Punkt. 
Durch diesen Punkt denke man sich die Tangentialebene an 
Z' gelegt und zum Schnitt gebracht (it') mit der Ebene, die 
s' und den Pol C' der Ebene oö von K‘ in Bezug auf Z‘ ent- 
hält. Diese Gerade ist Tangente an die Fläche Z' und soll 
der Treflfgeraden o' entsprechen, wodurch die gewünschte Ab- 
bildung hergestellt ist. Die Umkehrung dieser Abbildung ist 
zweideutig, denn die durch C‘ und die Tangente u‘ gelegte 
Ebene schneidet K‘ in zwei Punkten. Die Abbildung (s' -» «<’) 
ist tatsächlich eine Punkttransformation {F Q'), denn 
wenn man durch einen Punkt P' alle Treffgeraden von K' 
legt, so entsteht ein Kegel, der Z‘ in einem zweiten Kegel- 
schnitt trifft, und die Ebenen, welche durch die Erzeugenden 
des Kegels und durch C" gehen, also durch P' und C", ent- 
halten alle den auf P'C" gelegenen Pol der Ebene des 
zweiten Kegelschnitts, d. h. den Treff“geraden von K\ welche 
P' enthalten, werden die von <2' an Z‘ gelegten Tangenten 
zugeordnet. Wir haben das Ergebnis: 
') Vgl. Lie, a. a. 0. (Anm. 3), S. 736 und F. Engel, Verzeichnis 
der Schriften von Lie (Bibliotheea mathematica 3 (1), 1900, S. 16G — 204), 
Nr. 83 (S. 187). 
