Die Liesche Geraden-Kugeltransformation. 
195 
Ordnet man jedem Punkt P' des Raumes R‘ den Pol Q' 
derjenigen Ebene zu, in der der Kegelschnitt liegt, nach dem 
die durch P' gehenden TreSgeraden s' von K' die Fundamental- 
fläche zum zweiten Male schneiden, so gehen bei dieser 
einzweideutigen Punktverwandtschaft die Geraden s‘ in die Tan- 
genten u' der Fundamentalfläche über. 
Weitere Einzelheiten zur Ausführung und Begründung 
sind aus der folgenden analytischen Darstellung zu entnehmen, 
bei der wir die Koordinaten von P mit x, y, 2, die von Q 
mit ajj, ^j, 2 ^ bezeichnen. 
Wir wählen für K' wieder den imaginären Kugelkreis und 
für Z' die imaginäre Kugel 
2'^ \ = 0 . 
Um die Verwandtschaft herzustellen, hat man den Kegel 
{x — -V {y — yf -{-{2 — 'Qf = 0 
mit Z‘ zu schneiden. Die Gleichung der (zweiten) Schnitt- 
ebene ist 
2 x^ 2 yt] 22!^ \ — x^ — iß — 2^ = 0 , 
und ihr Pol Q' ist gegeben durch 
x^ = Xx, y^ = Xy, 2^ = X2, 
( 2 ) _ 2 
1 — X^ — tß — 2^‘ 
Die Umkehrung (Q' — > P“) der Abbildung ist dann ge- 
geben durch 
X^,UXj, y = fiy^^ ^ ^ 
dabei ist noch 
1 — ß{xl yl ß) = I — — iß — 2 ^ = 2 fl, 
woraus die schon erwähnte Zweideutigkeit hervorgeht. 
Den Treffgeraden («') 
y — rx Q, 2 = sx a, (1 4 - = 0 
des imaginären Kugelkreises (K‘) werden die Tangenten (u‘) 
