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H. Liebmann 
= 2x : 2 {rx + g) : 2 (sx + o) : (1 — — 2a; (ro + so)) 
von zugeordnet. 
Wir wollen auch noch die für die Zusammensetzung der 
hier besprochenen Punkttransformation (P' — >• Q') oder (s' — >■ ti‘) 
mit der Berührungstransformation (P -> s‘) wichtige Frage be- 
antworten, was aus einer beliebigen K' enthaltenden Fläche 
zweiten Grades Fn bei (P' -* Q') hervorgeht. 
Die F '2 hat eine Gleichung von der Form 
F2 = x^-\-y'^-\-s^-\-ax-\-hyFc^-\-d = x--{-ff 
+ E{x, y,z) = 0, 
und sie schneidet F' außer in K' noch in einem zweiten Kreis, 
dessen Ebene die Gleichung hat 
E{x, y,s) — l = (i. 
Das Bild von F 2 ist gegeben durch die Gleichung 
1 — 2 4- { 0,^1 -p ^y\ + -p = 0 
in Verbindung mit 
1 — 2 jx — {x\ F y\ + ^ 1 ) = 0 . 
Aus diesen beiden Gleichungen zusammen folgt, wenn wir 
E{x^, y^, z^ zur Abkürzung mit P, bezeichnen 
- 1)2 _ (1 + df {x\ -P y\ + -P 1) = 0, d. h. 
Jede Fi, welche K' enthält, verwandelt sich bei der Ab- 
bildung (P' — ► Q‘) in eine Fi, die längs des Kegelschnitts 
berührt, den Fi und E‘ außer K‘ noch gemein haben. 
Denkt man sich eine nichteuklidische (in unserem Fall 
elliptische) Maßbestimmung mit der Fundamentalfläche Z‘ ein- 
geführt, dann sind die Fi als Kugeln zu deuten, also läßt 
sich das Ergebnis in aller Kürze so aussprechen : 
Die durch Zusammensetzung vonP->s'mit s' —> u' 
entstehende einzweideutige Punktgeraden-Transfor- 
mation führt die Geraden g in die Kugeln über bei 
geeigneter nichteuklidischer Maßbestimmung. 
