198 H. Liehiuann, Die Liesche Geraden-Kuyeltransformation. 
Die Geraden s' sind hier die TrelFgeraden der unendlich 
fernen Kurve dritter Ordnung (des kubischen Kegelschnittes) 
{K‘} :t, = 0, Xj — yi = — z\ = — a-, m, = 0. 
Die Geraden s bilden wieder ein Nullsystem, Avic oben 
in (1), d. h. durch jeden Punkt P gehen oo^ Gerade s, die 
wieder ein ebenes Strahlenbüschel bilden. Ihre Fortschreitungs- 
richtungen im Punkte x, y, z, u sind durch das nicht integrale 
System von PfafFschen Gleichungen bestimmt 
ydz — zdy — dx = 0, 
ydu — udy xdz — zdx = 0. 
Jede Ebene z = a^^x + -j- Cj, 
« = « 2 ^ + Ky + 
bildet sich auf eine (dreifach ausgedehnte) ab, die {K‘) 
enthält. Insbesondere kann man (vgl. den Schluß von Nr. 1) 
die Transformation auch so wählen, daß sich unter den oo® 
Bildern der Ebenen auch cc^ (dreidimensionale) Kugeln be- 
finden. Man erhält damit eine (unvollständige) Ebenen- 
Kugeltransfor mation des P^. Eine vollständige Geraden- 
Kugel- oder Ebenen-Kugel-Transformation ist schon deshalb 
unmöglich, weil die Schar der Geraden und Ebenen je sechs, 
die der Kugeln aber nur fünf Parameter enthält. 
Genau entsprechend zu der Untersuchung in Nr. 2 kann 
auch im die Abbildung verallgemeinert werden zu einer 
Transformation, welche die Punkte P abbildet auf oo^ von 
den 00 ® Tangenten einer dreidimensionalen F^ oder Funda- 
mentalmannigfaltigkeit die K‘ enthält. 
Schon die Gestalt der Gleichungen (3) zeigt, wie man 
von hier aus zu bestimmten Verallgemeinerungen, zu ent- 
sprechenden Punkt-Geradentransformationen in Räumen höherer 
Dimension gelangen kann. Daneben besteht die Aufgabe, zu- 
nächst im R^ einen Überblick über alle Möglichkeiten zu 
gewinnen, wie ihn Lie für den gegeben hat, und alle diese 
Möglichkeiten auch durch einfache Beispiele zu verwirklichen. 
