Uber eine besondere Klasse unendlicher Kettenbrüche etc. 285 
Ich setze zur Abkürzung: 
O 
= = yr 2 =l — n,, jr, = (1 — (1 — r^) . . . (1 — r„), 
lim 71,. = 71 ; 
~ ^'21 ®2 ~ ^'2 + limo^ = o; 
1 >' = 00 
sei ö < 1, offenbar ist ö.,-i<öy<l. 
Nun beweise ich die Ungleichungen: 
1 — öy_i <C £y <C 71,, j 
\ 
dieselben sind offenbar »für v = 2 
daß sie für v y. — 1 , y(y'> S) 
zeige, daß sie dann auch für v = 
aus der Rekursionsformel: 
(r = 2, 3, ...); (G) 
, 3 gültig. Ich nehme an, 
bereits bewiesen sind, und 
■ y l gelten. In der Tat, 
Bx-^i B,, > >^-b: B^ — 1 
folgt zunächst die Ungleichung: 
5.+1 < B,,, 
ferner nach Voraussetzung: 
O 
Bx-\-\ ^ By_ (1 > «d-l) ^ ^y. (1 1 
und schließlich : 
By-[.] >1 — 0;,_i — 7r„_, = 1 — o.y\ 
somit sind die Ungleichungen (6) allgemein gültig. Hieraus 
\ — 0^B<71, 
ist also o < 1, so konvergiert der Kettenbruch. 
Sei 0 = 1, dann betrachte ich zwei Fälle gesondert: 
1. Es gibt unter den (v > 2) wenigstens eines mit dem 
Werte 1; sei nun n der kleinste Index, für den >*„ = 1 ist. 
Für n = 2 hat man: 
rg = 1, ö, = O 2 = I ; 
Sitzungsb. d. m.ith.-pliys. Kl. Jahrg. 1915. 
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