288 0. Szäsz, Über eine besondere Klasse unendl. Kettenbrüche etc. 
da jetzt keine neuen Bedingungen zu den Gleichungen (13) 
hinzutreten müssen. Und nun ist tatsächlich : 
1^2 1 ■ Uj ^2 > ^ ^2 ^3 ’ ■ • ■ 
1 — 2 '^y.^y . — 2 1 — I ^y.^ 
By.-\-\ = 1 (Jy.—l '>'y.+\ ^x-1 =1 . 
Für y. —2 fällt Bedingung (13) fort. 
Damit nun B — 0 sei, muß nach dem vorhergehenden 
1 Oy. r.yJ^i 71« = 0 
sein. Dies heißt aber: 
^y. — I ^x-j-2 ^y ü 
oder, nach Division mit 7 r«_i (es ist 7 r«_i> 0 ): 
1 ^y. '^‘y.Jfl Tyfy^i = 0 . 
Diese Resultate fasse ich in folgenden Satz zusammen: 
Satz 2. Der Kettenbruch mit reellen nicht-posi- 
tiven Elementen 
vergiert, und 
■r,. 
1 
konvergiert, wenn S’' tV kon- 
-j- ^3 -h iJ;. rx+i (1 — r^) (1 — >- 3 ) ... (1 — r>.-i) < 1, 
^ r,. <1 (r > 2 ) 
ist; nur in den folgenden drei Fällen: 
(14) 
1- ^2=1) ^3 = 0 
2. = 0 für z = 2, . . . , n, r„ = 1 (w > 3) 
3. r;._irx = 0 für z = 3, . . n; rx = 0 für + 3, 1 
fn + ^'n+l + ^n+2 >'n ^'n+2 =1 ) 
divergiert der Kettenbruch. 
Für n — 2 fällt im Falle 3) die Bedingung r;._i rx = 0 fort. 
Da tta-i ^ 1 — (A > 3) ist, so ist offenbar üngl. (14) 
sicher erfüllt, wenn 
^2 + ^'3 -f (1 — ^ 2 ) < 1’ »V < 1 (J' > 2) ist. 
