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A. Pringsheim 
ist sodann auch das Produkt n »•(1 -}- ‘iß,.(a:)) ein beständig 
0 
und unbedingt konvergentes. 
Man hat nun für r > 1 : 
<5^ {x) = (a;) (1 -t- ‘ißr ix)) 
und speziell: 
so daß aus der für jedes n > 1 geltenden Identität 
n 
^Jln (X) = ^0 (^) + (^) - (^)) 
1 
sich ergibt: 
n 
(2) (x) = l-\- % (x) + 2” (^) • (^) 
1 
und schließlich: 
(3) (1+ %■ (X)) = 1 + <ip„ (;r) + (x) • (x). 
0 1 
Da jedes der Produkte (a:) nach der Cauchy- 
schen Multiplikationsregel durch eine einfache Potenzreihe er- 
setzt werden kann, so folgt also zunächst, daß das unter den 
gemachten Voraussetzungen beständig konvergierende Produkt 
in eine beständig konvergierende Reihe von Potenzreihen trans- 
formierbar ist. Diese letztere kann aber wiederum noch in 
eine einfache, gleichfalls beständig konvergierende Potenzreihe 
umgeformt werden, wenn man die Voraussetzung dahin ver- 
schärft, daß die (aus lauter positiven Gliedern bestehende) Reihe 
00 
x\) beständig konvergieren soll, unter ‘^3^(2^) die- 
u 
jenige Reihe verstanden, welche aus (a:) durch Umwand- 
lung sämtlicher Koeffizienten in ihre absoluten Beträge 
entsteht. Denn unter dieser Voraussetzung (welche offenbar 
die ursprünglich gemachte der beständigen Konvergenz von 
00 
‘18v(:z^) nach sich zieht, aber nicht umgekehrt) be.steht. 
