über die Weierstraßsche Produktdarstellung etc. 
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wenn noch gesetzt wird: = JJv(l nach Ana- 
U 
logie der Beziehung (3) die folgende: 
(4) J[.(l -t- a; )) = 1 + ^ ), 
0 0 
in dem Sinne, daß zunächst das links stehende unendliche Pro- 
dukt und infolgedessen auch die rechts stehende Reihe be- 
ständig konvergiert. Dies besagt, daß unter der jetzt ge- 
machten Voraussetzung die in Gl. (3) auftretende Reihe kon- 
vergent bleibt, wenn man jeden einzelnen Bestandteil durch 
seinen absoluten Betrag ersetzt. Alsdann ist es aber auf Grund 
des sogenannten Gauch yschen Doppelreihen-Satzes auch ohne 
weiteres gestattet, jene Reihe nach Potenzen von x zu ordnen. 
Hiernach ergibt sich der folgende, die eigentliche Grundlage 
unseres Hauptbeweises bildende Hilfssatz: 
Versteht man unter für r = 0, 1, 2 . . . eine 
unbegrenzte Folge beständig konvergierender 
Potenzreihen, unter ‘13,. (a;) diejenige Reihe, welche 
aus 13v(a:) durch Verwandlung aller Koeffizienten 
in ihre absoluten Beträge entsteht, ist sodann auch 
00 
die Reihe '15^(1 X ) beständig konvergent, so gilt 
u 
das Gleiche von dem unendlichen Produkte 
U 
und zwar läßt sich dasselbe in eine beständig kon- 
vergierende Potenzreihe umformen, stellt also eine 
ganze transzendente Funktion von x dar. 
X 
2. Reduziert sich jedes '13.. (a;) auf das eine Glied 
OP j 
(wo li™ o,y = Qo) und ist sodann ^ \ beständig, 
ü ay\ 
Ü Cauchy, Analyse algebrique, 1821, p. 540 = Oeuvres (2), T. III, 
p. 444. 
