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A. Pringsheim 
CO ^ I 
d. h. ^ überhaupt konvergent, so liefert das unend- 
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liehe Produkt M — wie aus dem bisher gesagten folgt, 
0 \ ttyj 
übrigens auch unmittelbar zu ersehen ist, eine ganze trans- 
zendente Funktion mit den Nullstellen Uy. Dieser Fall scheidet 
CP j . 
für die weiteren Betrachtungen aus. Ist also jetzt / ;»■ |_| 
0 I Öfj- 1 
divergent, so kann man bekanntlich eine unbegrenzte Folge 
mit wachsendem v niemals abnehmender natürlicher Zahlen p,. 
00 Py -f- I 
so bestimmen, daß die Reihe 
X 
Oy 
heständisr konver- 
giert.^) Dies vorausgeschickt beweisen wir jetzt den folgenden 
Hauptsatz: Legt man den Zahlen a,,, py die so- 
eben angegebene Bedeutung bei und setzt: 
Gibt es Exponenten p (die natürlich ^ 1 sein müssen), derart, daß 
S l ^ 
, also auch für jedes endliche x die Reihe / , 
^y 1 »’ 
konvergiert, so setze man Py = p4-1, wobei man unter p etwa die 
kleinste, der fraglichen Bedingung genügende ganze Zahl zu verstehen 
hat. Gibt es kein solches p, so wird durch die Annahme P^ = »• — 1 
oder besser (weil wesentlich kleinere Py liefernd) durch die folgende : 
= [lg v] (d. h. gleich der größten in lg v enthaltenen ganzen 
Zahl) das Verlangte geleistet. Wird nämlich J? >• 0 beliebig groß 
angenommen, darauf n so fixiert, daß : 
Ji 
a.. 
< , für »•> 
so hat man, wegen: Py-p 1 > lg v, für |ai •< E: 
X iP+i 
a.. 
ao 
<S- 
1 
V*’ 
so daß die fragliche Reihe in der Tat beständig konvergiert. 
