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Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein. 
Von G. Mittag-Leffler. 
Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 4. Dezember 1915. 
Herr Serge Bernstein hat einen wichtigen Satz ausge- 
sprochen, der in engem Zusammenhänge mit den Resultaten 
meiner früheren Arbeiten steht. Sein Satz lautet: 
„Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß 
eine Funktion F{z) der reellen Veränderlichen 2 auf einer 
Strecke AB analytisch ist, besteht darin, daß die Funktion in 
eine Reihe von Polynomen entwickelbar ist: 
(1) F{2) = P,{2) -f P.(^) . . . + P„(^) -t- . . 
worin P„ { 2 ) ein Polynom bedeutet, das höchstens vom Grrade n ist 
und auf der Strecke AB gleichmäßig der Ungleichung genügt: 
( 2 ) Pr,{2) <Mq"{q<IV^) 
1) ComptesRendus de l’Acadera. des Sciences de Paris, 27 Fevrier 1911. 
Herr Bernstein hat dem Beweise seines Satzes die folgenden 
Arbeiten gewidmet: 
„Sur Vordre de la meilleure approximation des fonctions continues 
par des polynomes de degre donne.“ Memoire couronne par la classe 
des Sciences de VAcad. Royale de Belgique dans sa seance du 15 Decembre 
1911. Bruxelles 1912. 
„Sur une propriete des polynomes.“ Mitteilungen der math. Gesell- 
schaft in Charkow. 
„über die beste Approximation der kontinuierlichen Funktionen 
durch Polynome gegebenen Grades.“ Mitteilungen der math. Gesellschaft 
in Charkow (2), 13, S. 49—194 (Russisch). 
„Sur la definition et les proprietes des fonctions analytiques d’une 
variable reelle.“ Math. Ann., Bd. 75, S. 449 — 468. 
