424 Ct. Mittag-Leffler, Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein. 
Man setze nun zur größei'en Einfachheit 
(16) A — — !;-£> — 4"li 
was der Allgemeinheit des Beweises keinen Eintrag tut, und 
betrachte die Funktion: 
(17) 
(V’(^))" 
= V(^). 
Sie ist in dem von der Doppellinie ( — 1, -\- 1) begrenzten 
Bereich regulär. Da nun P„{s) ein Polynom ist, da- 
gegen nicht, so kann q)(g) sich nicht auf eine Konstante 
reduzieren. Der größte Wert von \cp{2)\ befindet sich also 
auf der Linie ( — 1, -|- 1). Wie wir gesehen haben, ist ^>{2) 
hier gleich 1. 
Ferner setzten wir voraus 
(2) Pn{z) < J/p"; o < 1. 
Also ist 
(18) |(^(.e)!<il/p’'; — l<.e<+ 1. 
Es möge nun z die Ellipse (13) durchlaufen. Bekanntlich 
kommt a -\- b. das größer als 1 ist, dem Werte 1 beliebig nahe, 
wenn man die Ellipse hinreichend schmal wählt. Setzt man also 
(19) (« 4- ft) p < r < 1, 
so erhält man 
(20) \P„{z) 
so lange z im Inneren oder auf der Ellipse hleibt. 
GO 
Die Reihe Yj Pn i^) ist folglich in diesem Bereich für z 
n =z\ 
gleichmäßig konvergent. Die in dem Bereiche durch die Reihe 
dargestellte Funktion ist also hier analytisch und regulär, wo- 
mit auch der zweite Teil des Bernsteinschen Satzes bewiesen ist. 
