Öffentliche Sitzung am 8. März. 
nur notwendig sondern auch hinreichend ist, um die Trans- 
formation auf diese kanonische Form zu ermöglichen. Dabei 
wurde er noch auf eine zu den Kurven von Clebsch kovariante 
Klasse von Kurven vierter Ordnung geführt, welche durch die 
Eigenschaft charakterisiert sind, die Ecken eines vollständigen 
Fünfseits zu enthalten. Diese „Lürothschen Kurven“ sind 
seitdem mit manchen anderen Betrachtungen in Zusammen- 
hang gebracht worden, so von F. Schur und G. Humbert; 
auch Lüroth selbst ist auf seine Arbeit später (1878) wieder 
zurückgekommen. 
Eine andere geometrische Arbeit knüpft ebenfalls direkt an 
Clebsch an. Letzterer hatte im Anschluß an seine Theorie 
der Kurven, deren Koordinaten eindeutig durch elliptische 
Funktionen dargestellt werden können, auf die rationalen 
Kurven als ein besonders wichtiges Paradigma zum Studium 
der Kurvenlehre aufmerksam gemacht. Verhalten sich nun 
die projektiven Koordinaten der Kurve wie drei rational ganze 
Funktionen desselben Grades eines Parameters X, so entspricht 
freilich jedem Punkte der X- Geraden ein Kurvenpunkt, es 
können aber umgekehrt n-Punkte der Geraden dem letzteren 
zugehören. Lüroth zeigte nun, daß man an Stelle einer 
rationalen Funktion von X immer, natürlich auf mehrfache Art, 
einen neuen Parameter ,« so einführen kann, daß die Beziehung 
zwischen der Kurve vom Geschlecht Null und der Geraden 
eine umkehrbar eindeutige wird. 
Auf diesen Satz, der stillschweigend der Clebschschen 
Arbeit zu Grunde lag, kam er nach längerer Zeit zurück, um 
ihn auf den weit schwierigeren Fall zu erweitern, wo die 
Koordinaten einer algebraischen Fläche vier Funktionen des- 
selben Grades von zwei Parametern X, fx proportional sind. Es 
ist dies die Arbeit über rationale Flächen und involutorische 
Transformationen, die er bei Gelegenheit seines Rektorats zu 
Freiburg 1889 veröffentlichte. Allerdings war es G. Castel- 
nuovo Vorbehalten, den schönen Satz, daß auch hier die Be- 
ziehung stets zu einer umkehrbar eindeutigen durch Einfüh- 
rung neuer Parameter gemacht werden kann, vier Jahre später 
