61 
Zur Theorie der Heineschen Reihe. 
Von Alfred Pringsheim. 
Vorgetragen in der Sitzung am 4. Februar 1911. 
In meiner Abhandlung 1 ) „Über Konvergenz und funk- 
tionentheoretischen Charakter gewisser limitär- periodischer 
Kettenbrüche“ habe ich gelegentlich darauf hingewiesen, daß 
die Heinesche Reihe eine in der ganzen Ebene eindeutige 
Funktion definiert, welche im Endlichen bis auf einfache 
Pole aus der Reihe der Zahlen q~ v (j q \ < 1, v — 0, 1, 2, . . .) 
regulär ist. 2 ) Es war mir damals entgangen, daß man dieses 
Resultat, wie einer meiner Schüler, Herr Edwin R. Smith, 
bemerkt hat, ganz unmittelbar aus der Differenzengleichung 
entnehmen kann, welche Heine für jene Reihe abgeleitet hat. 
Dieselbe lautet in der ursprünglich von Heine gegebenen 
Darstellung 3 ) : 
(1) (2 1 '“ 1 - q a +ß~ n x ) • zl 2 (p n - (1 - qy- 1 - q n (q a + qP- 2 q a +P) x)- Acp n 
- q n (l- q a ) (l-q ß ) • (p n = 0, 
wo : 
<Pn = (ö, ß, y , q , q n x) 
dqpn = <Pn+l — <p n , A 2 (p n = ff 9?„ + i A (p n . 
Wählt man speziell n = 0, so nimmt durch Substitution von: 
A cp = cp (i qx ) — <p (x) 
A 2 cp = cp(q 2 x) — '2 cp (qx) -j- cp (x) 
') Diese Berichte, Jahrgang 1910, 6. Abhandlung. 
2 ) A. a. 0. p. 31. 
3 ) Journ. f. Math. 34 (1847), p. 31G. 
