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Alfred Pringsheim 
die obige Differenzengleichung die einfachere Form an: 
(2) (q?- l -q a +Px) ■ q(q 2 x)-( l J rq y ~ ] -(q' i + q ß )x) ■ cp(qx)+(\-x) ■ (p(x) = 0 , 
aus welcher dann in der Tat die oben bezeickneten Eigen- 
schaften der durch das Funktionselement cp (x) definierten ana- 
lytischen Funktion ohne weiteres hervorgehen. 
Auch diese Formel (2) findet sich schon bei Heine, jedoch 
nicht in der oben zitierten Abhandlung, sondern in der zweiten 
Auflage (1878) seines Handbuches der Kugelfunktionen. Sie 
erscheint aber dort 1 ) ganz unterschiedlos in einer langen Serie 
anders gearterter und minder wichtiger Formeln gleichsam 
versteckt, überdies in einer Bezeichnungsweise, durch welche 
ihre eigentliche Tragweite gänzlich verwischt wird, nämlich : 
(3) q{\-x)-rp{£) = {c+q-(a + b)qx} ■ cp(£ +l)-(c- abqx)- 9 ? (£+2) 
(wo: a ■ = q a , b = q ß , c = q>', x = q* und 9 ?(£) soviel wie in 
der früheren Bezeichnung <p(q* ) bedeutet). Ob Heine die in 
Frage kommenden, für die genauere Erkenntnis der vorliegen- 
den Funktion grundlegenden Schlüsse aus der obigen Formel 
gezogen hat, mag dahingestellt bleiben: jedenfalls muß es auf- 
fällig erscheinen, daß er weder über diese Möglichkeit, noch 
über deren Resultat auch nur die leiseste Andeutung macht. 
Da die betreffende Fundamentalformel bei Heine durch 
eine verhältnismäßig künstliche und weitläufige Rechnung ge- 
wonnen wird, so erscheint es vielleicht nicht ganz überflüssig, 
zu zeigen, daß sie in der denkbar einfachsten und logisch na- 
türlichsten 2 ) Weise durch passende Umformung des Produktes 
(1 — x)'Cp{x) sich ergibt. Dabei mag statt der Reihe (p(a,ß,y,q,x ) 
zunächst wieder die etwas allgemeinere : 
(P{x) = <P (a, ß, y, (5, q , x) = 2> fr • & 
0 
*) A. a. 0. Bd. 1, p. 104, letzte Zeile. 
2 ) Insofern ja aus der Natur der Reihe q>(x) unmittelbar erkannt 
werden kann, daß die betreffende analytische Funktion auf dem Ein- 
heitskreise keine andere Singularität, als den einfachen Pol x = 1 
besitzt, sodaß man also für die weitere Untersuchung von y>(x) unmittel- 
bar auf diejenige von (1 — x)-<p(x) geführt wird. Vgl. meine oben zitierte 
Abhandlung p. 29. 
