216 Oskar Perron, Einige Konvergenz- und Divergenzkriterien. 
D) 
d'2vA-\ ^ | 1 
CtO y CL ) y 
Wir untersuchen jetzt die unendliche Reihe 
E) 
— 1 
)■ 
Wegen C) und D) bilden jedenfalls ihre positiven Glieder 
für sich eine konvergente Reihe. Wäre nun die Reihe der 
negativen Glieder nicht ebenfalls konvergent, so würde die Ge- 
samtreihe E) gegen — cc divergieren. Also würde das Produkt 
mit dem allgemeinen Glied 
®2v4-l 
a-iv 
gegen Null divergieren, weil 
ja bekanntlich 
a 2v+l 
«2v 
ist. Dies würde aber der Bedingung B) widersprechen. Von 
der Reihe E) müssen daher die Teilreihe der positiven Glieder 
und die der negativen Glieder je für sich konvergieren, so daß 
die Reihe E) selbst absolut konvergiert. Infolgedessen ist aber 
lim " = 1 , so daß die Reihe 
ao,, 
ebenfalls absolut konvergiert. Außerdem ist wegen der Be- 
dingung 
C) und wegen lim 
«2i+l 
&2 y 
1 auch die Reihe 
E 
1 
a-2r+l 
konvergent. Nach Satz 8 genügt dies aber für die Divergenz 
des Kettenbruches. 
Damit sind alle Gmeinerschen Kriterien als Spezialfälle 
der unsrigen nachgeAviesen. Denn diejenigen, welche wir nicht 
ausdrücklich erwähnt haben, sind bei Herrn G meiner selbst 
nur Spezialfälle der erwähnten. 
