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Konvergenzhedingungen für die verwandte Reihe 
einer Fourierschen Reihe. 
Von W. H. Young. 
Vorgelegt von A. P rings heim in der Sitzung am 10. Juni 1911. 
§ 1. 
Herr Pringsheim 1 ) hat auf die Tatsache aufmerksam ge- 
macht, daß die Existenz von 
f(x + t) — / (x — t ) 
J 
t 
dt 
(1) 
für die Konvergenz der Reihe 
ü{&„coswa; — «„sinw#}, (2) 
die ich als verwandte Reihe der Fourierschen Reihe 
f(x)cn^ a 0 -j- £ (a n cos n x + b n sin nx) (3) 
bezeichne, zwar hinreichend, aber nicht notwendig ist. 
Es sei diese Bedingung erfüllt, dann wissen wir, daß die 
verwandte Reihe (2) nach 
71 
2^JV(s + 0 — f{x — 0}cot|d* (4) 
o 
*) A. Pringsheim, „Über das Verhalten von Potenzreihen auf dem 
Konvergenzkreis“, 1900. Sitzungsber. d. math.-phys. Klasse der K. Bayer. 
Akad. d. Wiss. XXX, p. 87. In dieser Abhandlung betrachtet Pringsheim 
nur Integrale im Riemannschen Sinne; die Erweiterung auf Lebesguesche 
und Harnack-Lebesguesche Integrale folgt ohne weiteres. 
