Konvergenzbedingungen für die verwandte Reihe. 
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Integrals dar, und das Ziel dieser Note in erster Linie ist, diese 
Erwartung zu bestätigen, indem ich zeige, daß mit dieser Zu- 
fügung die Bedingung II) auch hinreichend ist, die Konvergenz 
der verwandten Reihe (2) zu sichern. Ich schließe mit einem 
Satz allgemeineren Umfanges, welcher noch weiterer Verall- 
gemeinerung fähig ist. 
§ 2. 
Theorem. 
Ist f (x) eine Funktion mit beschränkter Schwan- 
kung, so konvergiert die verwandte Reihe 
X (&» cos nx — a„ sin n x) 
der Fourierschen Reihe von f, nach 
71 
lim • 1 f {f{pc + t) — f{x — 0} cot dt, 
n— oo " ^ 
71 
n 
vorausgesetzt, daß dieser Limes einen bestimmten, 
O 7 
endlichen Wert hat. 
Schreiben wir: 
m — 1 
S m — X (&m cos nX a n Sill n X) , 
n=l 
wobei: 
71 71 
a„ — — J* fix) cos nxdx, b„ = — J* fix) sin nx dx. 
— 71 —71 
Durch einen gewöhnlichen Summationsprozeß erhalten wir: 
Sh — ^ J f (ß + *) ü cot * — J cosec 2 cos ^ j dt 
— 71 
71 
2 
= — [{fl2t + x)—f( 2 t — x)} {cot t— cosec t cos 2 n— \t) dt. 
n J 
o 
