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W. H. Young 
Schreiben wir der Kürze halber f 1 (t ) anstatt 
f(2 1 + x) — f(x — 2 0, 
so ist f\ {t) von beschränkter Schwankung, hat im Punkte t — 0 
den Wert Null und ist daselbst infolge der Voraussetzung 
stetig. Bezeichnen wir durch P(t ) und — iV(Y) die positive 
und negative Schwankung von f 1 (t) im Intervall (0, t), so ist: 
fi (0 = m 
und es erweisen sich P ( t ) und N ( t ), wie f x ( t ) als stetig im 
Punkte t= 0, woselbst sie den Wert Null haben. 
Nehmen wir eine positive Größe e so klein an, daß für 
alle positiven Werte von t < e, P(t) und N(t) beide < e sind, 
und außerdem: 
< e. 
Betrachten wir dann nur solche Werte von w, daß 
Wir haben nun 
71 
< £. 
n 
71 s n = JYi (0 cot 2 dt + Jf' ® 
cos t — cos 2 n — 1 1 
sin t 
d t 
— jV, (^)cosec^cos2w— It- dt — j /'j (£) cosec^cos 2» — 1 tdt. (A). 
Das Theorem von Riemann-Lehesgue läßt uns darauf 
schließen, daß das dritte Integral nach Null konvergiert, wenn 
n ohne Schranke wächst, da ( t ) cosec t im Intervall 
eine Lebesguesche Integration zuläßt. 
Das zweite Integral spaltet man in die beiden folgenden: 
