Konvergenzbedingungen für die verwandte Reihe. 
367 
einander gleich sind. Hiernach ergibt sich unmittelbar aus 
dem vorigen Paragraphen der folgende Satz, welcher als Er- 
weiterung desjenigen von § 2 gelten kann: 
Theorem. 
Wenn 
U 
\ J + M ) — f( x — «)} d u ' 
o 
als Funktion von u betrachtet, im Intervall (0, ze) be- 
schränkte Schwankung besitzt, so konvergiert die 
verwandte Reihe der Fourierschen Rei he von f(x) nach 
Ti n 
lim ^ f du cosec 2 U f {f(x -j- 2 t) — f(x —2 t)) dt, 
W = x 4: 71 t/ 
71 0 
n 
angenommen, daß dieser Limes existiert. 
Dieser Satz läßt sich folgendermaßen umgestalten, indem 
wir die Werte von f(x) außerhalb des Intervalles ( — n, n) 
periodisch wiederholen und das unbestimmte Integral von f{x) 
durch F (x) bezeichnen. Wir erhalten alsdann folgenden Satz: 
Wenn 
~ {F (x + u) -\- F (x — u) — 2 F ( x)\ , 
als Funktion von u betrachtet, im Intervall (0, u) be- 
schränkte Schwankung besitzt, so konvergiert die 
verwandte Reihe der Fourierschen Reihe von f (x) nach 
00 
— J u ' 2 {F ( x -j- «) -|- F (x — u) — 2 F (#)} du, 
o 
angenommen, daß dieses Integral im Harnack-Lebes- 
gueschen Sinne existiert. 
Wir schließen sogar weiter, daß, wenn 
U 
- f { f{x u) — fix ~ u)) du, 
U 
0 
Sitzungsb. d. matb.-phys. Kl. Jabrg. 1911. 
24 
