368 
W. H. Young 
d. i. 
F (x + u) + F (x — «) — 2 F (x) 
u 
eine Funktion des Veränderl iclien u mit beschränkter 
Schwankung ist, so konvergiert die verwandte Reihe 
gegen 
l im l r f (x + u)-f(x- u) dU ' 
n=® & d M 
7t 
n 
vorausgesetzt, daß dieser Limes bestimmt und end- 
lich ist. 
Denn man hat: 
F (x -f- u) + F (x — u) — 2 F(x) 
u 
= C F(x-\-u)-\ -F{x — tt) - 2 F{x) du _ 'r f(x + u)-f{x-u ) ^ 
J u 2 J u 
n t< 
Da nun die linke Seite dieser Gleichung als Funktion be- 
schränkter Schwankung jedenfalls einen bestimmten und end- 
lichen Grenzwert besitzt, wenn u gegen Null konvergiert, so 
konvergieren beide Integrale auf der rechten Seite, oder es 
konvergiert keines von beiden. Letzteres tritt aber sicher ein, 
wenn der Grenzwert der linken Seite verschieden von Null ist, 
da die linke Seite durch u dividiert als Integrand in einem 
der beiden Integrale auftritt. Deshalb konvergieren die beiden 
Integrale gegen denselben bestimmten endlichen Wert, oder 
es konvei'giert keiner der beiden. Der gesuchte Schluß folgt 
unmittelbar. 
Endlich sei bemerkt, daß die Beweismethode, durch xvelche 
wir die Existenz des bestimmten und endlichen 
lim 
n=oc 
1 ( f( x + “) ~ f( x ~ u ) du 
71 J U 
n 
