Die Cesüroschen Kurven. 
charakterisierter Kurvenfamilien aufzustellen, die in ihren Be- 
reich fallen. Eine erschöpfende Behandlung dieser beiden Auf- 
gaben, die geleistet werden muß, ehe man an Spezialstudien 
gehen kann, liegt bisher noch nicht vor, und die Literatur 
enthält neben bemerkenswerten Einzelergebnissen doch auch 
manche unzutreffenden Behauptungen. 
I. Analytische Darstellung. 
Man könnte zunächst versuchen, die Diskussion an die 
endlichen Gleichungen der Kurven (1) anzuknüpfen, die sich 
durch die Methode der parallelen Zuordnung 1 ) durch Quadra- 
turen darstellen lassen. 
Sind X, Y, Z die Koordinaten, K, T, S Krümmung, Torsion 
und Bogenlänge einer beliebigen Raumkurve, so ergeben sich 
die Gleichungen einer ihr durch parallele Tangenten zugeord- 
neten Cesüroschen Kurve (1) in der Form: 
X = 
r AK 2 + PT 2 + CKT 
dX 
J PK + QT 
y = ( 
r AK 2 + PT 2 -f CKT 
d Y 
J PK P QT 
r AK 2 + PT 2 + CKT 
dZ. 
^ — 
J PK -f QT 
Diese Darstellung versagt nur für P = Q = 0; dann aber 
zerfällt die Cesärosche Kurve in ein Paar allgemeiner Schrauben- 
linien, deren endliche Gleichungen wohlbekannt sind. 
Die Gleichungen (2) lassen eine bemerkenswerte Umfor- 
mung zu, wenn man die Identität 
( 3 ) 
AK 2 + PT 2 + C KT 
PK -f" 
QT 
— nKpß'T 
yKT 
PK 4- QT 
benutzt, in der 
A 
= C — 
A Q 
P 
PP 
Q 
*) Vgl. Sitzungsber. der Berliner Math. Ges. 4, 64 — 69, 1905. 
