Teilung der Ebene durch irreduzible Kontinua. 
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fachen Streckenzug (Querschnitt) f ; durch wird © in 
genau zwei Teilgebiete (3, und © 2 zerlegt. Da a und ß durch 
y und b getrennt werden, so liegen (von einem gewissen Index 
ab) die Ketten von Teilgebieten von ®, die a bzw. ß dar- 
stellen, in ©j bzw. @ 2 . Daher liegen innerhalb ©, und © 2 
Punkte von C und deshalb muß \ C d von C getroffen werden 
und zwar gilt dies für jeden derartigen c und d verbindenden 
Streckenzug. Durchläuft man f C d von c nach d, so gibt es 
auf f e(i einen ersten zu C gehörenden Punkt Sc und einen 
letzten solchen Punkt Sc ■ Nimmt man nun auf \ C d in hin- 
reichender Nähe von c und d , nämlich vor Sc und nach s'c, 
zwei Punkte s c bzw. Sd, so kann man s c und Sd nicht durch 
einen Streckenzug in © verbinden, ohne C zu treffen, da man 
sonst einen c und d verbindenden Streckenzug von der Art 
f C d erhalten würde, der keinen Punkt mit C gemeinsam hätte. 
Also s c und Sd sind in zwei verschiedenen von C in © be- 
stimmten Teilgebieten ©, und © 2 enthalten. 
Übrigens sei hervorgehoben, daß alle hier und im folgen- 
den vorkommenden Teilgebiete einfach zusammenhängend 
sind, da sie Komplementärgebiete eines Kontinuums, nämlich 
( B -f- G), sind. 
Aus dem Beweis von Satz 1 folgt unmittelbar: 
Satz 2: Ein in © gelegenes, „nicht-abgeschlossenes Konti- 
nuum“ C, das eine endliche oder abzählbare oder allgemeiner 
eine punkthafte 1 ) Menge von Randpunkten von ©, mindestens 
aber zwei Randpunkte approximiert, zerlegt © in mindestens 
zwei Teilgebiete (an deren Begrenzung die Ableitung C von C 
und der Rand B von © gemeinsam teilnehmen). 
Beweis: Da die punkthafte, abgeschlossene Menge der von 
C approximierten Randpunkte in B nirgends dicht liegt, sind 
in jedem Intervall von Randelementen erreichbare Punkte vor- 
handen, die von C nicht approximiert werden; also sind die 
Voraussetzungen für die Punkte c und d im Beweis von Satz 1 
l ) Also eine (abgeschlossene) Menge von Randpunkten, die kein 
Kontinuum enthält. 
