Teilung der Ebene durch irreduzible Kontinua. 
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einzelnen Punkt oder ein ganzes Kontinuum; und zwar enthält 
diese in g von C approximierte Punktmenge sämtliche Haupt- 
punkte von g. 
Beweis: Wirstellen g durch eine Kette von Teilgebieten 
® (1) , @(2) ( ®(») . . . dar. die ausgeschnitten werden durch 
eine Kette von konzentrischen Kreisschnitten £' (1) , f C2) . . L n) . . 
deren Mittelpunkt irgend ein Hauptpunkt r von g ist. Man 
wähle den Index n 0 so grob, daß nicht alle Punkte von C in 
liegen; dann wird für m^> n 0 jedes f (m) von C getroffen. 
Vereinigt inan nun f |m) mit dem Durchschnitt D m von C und ® (m) , 
so erhält man eine lückenlos zusammenhängende Menge C, n . 
[Denn: andernfalls wäre eine Zerlegung von C m in zwei „in 
C m abgeschlossene“, elementenfremde Mengen möglich, von 
denen die eine ganz innerhalb ® (m > gelegen wäre, was eine 
ebensolche Zerlegung von C zur Folge hätte.] Dann ist auch 
die Vereinigung K m von D,„ mit allen l (fl) für p>m eine 
lückenlos, zusammenhängende Menge. Durch Hinzufügung der 
fehlenden Häufungspunkte zu K m erhält man ein (abgeschlos- 
senes) Kontinuum K m . Läßt man nun den Index m beständig 
wachsen, so ergibt sich eine absteigende Folge von ineinander 
geschachtelten Kontinuen K m , K m + 1, K,„ + 2 . . ., K m + V . . .; 
der Durchschnitt D einer solchen Folge ist bekanntlich ein 
einzelner Punkt oder ein (abgeschlossenes) Kontinuum. Zugleich 
sehen wir, daß jeder Hauptpunkt r von g zu D gehört. 
Da bekanntlich ein Randelement entweder einen einzigen 
erreichbaren Hauptpunkt oder ein Kontinuum von nicht er- 
reichbaren Hauptpunkten besitzt 1 ), so folgt aus Hilfsatz a 
(wenn man noch berücksichtigt, daß die von C approximierte 
Menge von Randpunkten abgeschlossen ist): 
Hilfsatz b: Wenn C höchstens endlich oder abzählbar un- 
endlich viele Randpunkte oder allgemeiner eine punkthafte Menge 
von Randpunkten approximiert, dann ist jeder dieser Rand- 
punkte in jedem Randelement, in dem er von C approximiert 
’) C. Caratheodory , a. a. 0.. p. 362. 
Sitznngsb. d. matb.-phys. Kl. Jahrg. 1919. 7 
