Teilung der Ebene durch irreduzible Kontinua. 
103 
Bemerkung: Gemäß Satz 5 genügt es für Satz 6, wenn 
eine der beiden Mengen C x und C 2 beschränkt ist. Dagegen 
gilt Satz 6 nicht mehr, wenn (7, und C a beide nicht be- 
schränkt sind, wie das Beispiel in § 4 zeigt. 
§ 4. Über irreduzible Kontinua. 
Satz 7: Ist C 1 ein Kontinuum, das die Punkte a und b 
enthält, ist ferner (S 2 ein zwischen a und h irreduzibles Kon- 
tinuum, das mit C 1 nur die beiden Punkte a und b gemeinsam 
hat, dann kann @ 2 nur in einem einzigen Komplementärgebiet 
von Cj liegen. 
Beweis: Angenommen, daß © 2 in mindestens zwei Kom- 
plementärgebiete § x , ip a . . . von Oj eindringe. Wird dann 
mit T 1 das zu komplementäre Kontinuum der Ebene be- 
zeichnet, wird ferner unter (ß 2 §j) bzw. (® 2 Tf) der Durch- 
schnitt von @ 2 mit bzw. T x verstanden, dann kann wegen 
der Irreduzibilität von © 2 keine der beiden abgeschlossenen, 
a und b umfassenden Mengen ((© 2 £>,) -p a -(- b) und (@ 2 Tf) 
ein Kontinuum sein. Also zerfallen ((© 2 §,) -p a -p b) in die 
beiden nicht leeren, abgeschlossenen, elementenfremden Teil- 
mengen ©* und (6 a Tf) in die beiden nicht leeren, abge- 
schlossenen, elementenfremden Teilmengen (£** und Jede 
dieser vier Teilmengen muß einen der Punkte a, b enthalten; 
denn andernfalls würde die betr. Menge und der Rest von ® 2 
eine Zerlegung von @ 2 in zwei abgeschlossene, elementenfremde 
Teilmengen darstellen. Es enthalten also etwa (S* und (5*, 
den Punkt a, (£* und den Punkt b. Dann müßte (S 2 in 
die beiden nicht leeren, abgeschlossenen, elementenfremden Teil- 
mengen (©i -p 6**) und (6* -f- (S*J zerfallen. Also ist unsere 
Annahme unmöglich: (S 2 liegt deshalb in einem einzigen Kom- 
plementärgebiet von G l . 
fremden, beschränkten, lückenlos zusammenhängenden Mengen Ci und C 2 
je ein einziges Komplementärgebiet in der Ebene und approximieren beide 
zugleich genau die zwei Punkte a und b, dann wird die Ebene durch 
(C, -p C 2 ) in genau zwei Teilgebiete zerlegt. 
