Teilung der Ebene durch irreduzible Kontinua. 
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abgeschlossenen, elementenfremden Teilmengen (£2 und (£ 2 . 
Jede dieser vier Teilmengen müßte einen der Punkte a, b ent- 
halten; denn andernfalls würde die betreffende Menge und der 
Rest von 6 eine Zerlegung von 6 in zwei abgeschlossene, 
eleinentenfremde Teilmengen darstellen. Also enthielten etwa 
61 und 61 den Punkt a, ebenso 61 und 61 den Punkt b. 
Dann zerfiele 6 in die beiden abgeschlossenen, elementen- 
fremden Mengen (6} -p 61) und (61 -f 61). Die gemachte An- 
nahme ist daher unmöglich; 6* muß demnach lückenlos zu- 
sammenhängend sein. 
Aus Satz 8, Hilfsatz f und Satz 6 folgt nun: 
Satz 9: Ist 6 die Vereinigungsmenge von zwei beschränkten, 
zwischen den Punkten a und b irreduziblen Kontinuen 6, und 
6 2 , die außer a und b keinen Punkt gemeinsam haben, dann 
gibt es in der Ebene genau zwei Komplementär gebiete ®, 
und ® 2 von 6, an deren Begrenzung (von a und b abgesehen) 
zugleich 6, und 6 2 beteiligt sind. 
Die übrigen von 6 eventuell bestimmten Komplementär- 
gebiete werden (von a und b abgesehen) von Punkten von 6j 
oder von 6 2 allein begrenzt. 
Wir zeigen nun, daß diese beiden ausgezeichneten Gebiete 
®j und ® 2 von dem ganzen Kontinuum 6 begrenzt werden: 
An der Begrenzung von ®j (analog für © 2 ) nimmt, gemäß 
dem Anfang des Beweises von Satz 4, ein Intervall A x von 
ganz aus Punkten von 6 t bestehenden Randelementen teil, das 
in ®j von zwei Randelementen a und ß abgeschlossen wird, 
in denen a bzw. b erreichbare Punkte sind. Fügt man zu A x 
seine in a und ß enthaltenen Häufungspunkte hinzu, so erhält 
man ein a und b umfassendes Kontinuum A x (denn A x ist die 
abgeschlossene, zusammenhängende Menge, die entsteht, wenn 
man zu den in ®j erreichbaren Punkten von A x alle Häufungs- 
punkte hinzunimmt). A x besteht durchweg aus Punkten von 
6j und ist deshalb wegen der Irreduzibilität von 6, mit 6, 
identisch. Ebenso ergibt sich, daß ganz 6 2 an der Begrenzung 
von ®, (bzw. ® 2 ) teilnimmt. 
