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Die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises. 
Von Heinrich Liehmann. 
Vorgetragen in der Sitzung am 8. Februar 1919. 
In der letzten Arbeit 1 ) war darauf verwiesen worden, daß 
die Untersuchung von Frobenius „Uber den gemischten 
Flächeninhalt zweier Ovale“ (Berl. Ber. 28 (1915), S. 387 — 404) 
trotz des geometrischen Ausgangspunktes vom Verfasser nicht 
zu einem einfachen geometrischen Beweis für die isoperimetrische 
Haupteigenschaft des Kreises ausgebaut worden ist. Diese auf- 
fallende Lücke soll hier noch ausgefüllt werden. 
Es ist zu zeigen, daß zwischen Umfang ( L ) und Inhalt ( F ) 
eines Ovals die Beziehung besteht 
1) -ZA — 4 n 0, 
und daß das Gleichheitszeichen nur für den Kreis besteht. 
Zu diesem Zweck hat man die Parallelkurven heranzu- 
ziehen. Trägt man auf den Normalen eines Ovals die Strecke t 
ab, so erhält man die Parallelkurven, für positives t die äußeren, 
für negatives die inneren. Inhalt und Umfang werden bekannt- 
lich L{t)= L + 2tn 
F{t) — F t L -\- Pji. 
Man sieht, daß F ( t ) — selbstverständlich nur für innere 
Parallelkurven, also negative Werte von t — auch negativ werden 
kann, sobald die Ungleichheit (1) gilt. 
Demnach ist, um die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises 
zu erweisen, nur zu entscheiden, ob jedes vom Kreis verschiedene 
Oval unter seinen (inneren) Parallelkurven auch solche mit 
1 ) Integralinvarianten und isoperimetrische Probleme. Diese Be- 
richte 1918, S. 489 — 505. Man vgl. besonders die Anmerkung S. 492/93. 
