114 H. Liebmann, Die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises. 
Wir betrachten jetzt den Horizontalschnitt durch die Spitze S 
der Kappenpyramide. 
Sein Inhalt ist die Differenz des Kappendreiecks L* M*N*, 
das aber in einen Punkt zusammenschrumpft, eben den Punkt S 
und einer Folge von Dreiecken k\, k 2 . . . , k r . . . , also negativ , 
wenn nicht alle kr den Inhalt Null haben, also auch in Punkte 
zusammensckrumpfen. Das tritt für k], k>, kl nur ein, wenn 
S auch das Perspektivitätszentrum der Paare \ k[, k 2 k ‘> , k 3 kl ist. 
Damit dann auch /c 4 , kt . . ., k 9 sämtlich Null sind, muß S 
auch das Perspektivitätszentrum der Paare k i k' i . . ., kgkg sein. 
Die unbeschränkte Fortsetzung dieses Schlußverfahrens zeigt, 
daß folgende Alternative besteht: Entweder hat unsere abwickel- 
bare Fläche auch Querschnitte mit negativem Inhalt (nämlich z. B. 
den Horizontalschnitt, dessen Ebene durch die Spitze einer Kappen- 
pyramide geht) oder die beiden Ovale liegen perspektivisch. 
Dies ist jetzt auf einen besonderen Fall anzuwenden. E sei 
das gegebene Oval, E‘ in einer Horizontalebene, die unterhalb 
der von E liegt, der Schnitt einer durch E gelegten Böschungs- 
fläche von 45° Neigung. Wenden wir hier die Konstruktion 
an, so erhalten wir eben die Böschungsfläche wieder, und ihre 
Horizontalschnitte ergeben, senkrecht auf die Ebene von E 
projiziert, die Parallelkurven von E. Den oberen Schnitten 
entsprechen innere, den unteren äußere Parallelkurven. Dem- 
gemäß hat E entweder innere Parallelkurven mit negativem 
Inhalt, und dann ist jj- 4 n F > 0 
oder die innere Parallelkurve, deren Abstand gleich der Höhe 
der Kappenpyramide ist, reduziert sich auf einen Punkt, und 
dann ist E ein Kreis. Die Höhe der Kappenpyramide ist, weil 
ihre Seitenflächen unter 45° gegen die Grundebene geneigt sind, 
gleich dem Radius q* des Inkreises des Kappendreiecks LMN. 
Entweder also ist E ein Kreis, oder aber die innere Parallel- 
kurve im Abstand q* hat negativen Inhalt. Damit ist der 
Beweis des vorangestellten Satzes und also auch der isoperi- 
metrischen Eigenschaft des Kreises auf diesem Weg erbracht. 
