Über orthogonale Kurvensysteine in der Ebene. 
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I. q=r, r, = p -f- 1; r 2 = p + 1; s = 2; t = 2 
II. q=p - f- 1 ; r, = p + 1 ; r a = p 2 ; s = 1 ; t = 3 
III. q = p + 2; r, =p + 1 ; r 2 = p +3; 5 = 0; t = 4. 
Legt man also der Zahl p alle ganzzahligen positiven 
Werte (einschließlich 0) bei, so ergibt eine Aufzählung 
aller ebenen Orthogonalsysteme drei nebeneinander 
herlaufende Reihen. Die drei Typen werden im folgenden 
allgemein untersucht und die Ergebnisse zur Aufzählung der 
einfachsten Fälle und zur Kennzeichnung ihrer geometrischen 
Eigenschaften verwendet. 
4. Die tetrazyklischen Koordinaten sollen in rein 
geometrischer Weise durch stereographische Projektion der 
Kugel eingeführt werden; der Übergang zu einer Reihe räum- 
licher Betrachtungen, die bei der folgenden Untersuchung ebener 
Orthogonal-Systeme nicht zu umgehen sind, vollzieht sich dann 
in natürlichster Weise. 
Projiziert man einen Punkt (X, Y, Z) der Einheitskugel 
X 2 + Y' 1 -f- X 2 = 1 aus dem Südpol (0, 0, — 1) stereographisch 
in die Äquatorebene (X = 0), so sind die Koordinaten des 
Bildpunkts ( x , y) 
X Y 
* = I+x ; y== T Tz 
oder in homogener Form (a ist, wie im folgenden p 0 und p, 
ein Proportionalitäts-Faktor) 
ax = X; ay = Y; a = 1 -j- Z. 
Hiezu tritt zufolge der Gleichung der Einheitskugel die 
4. Gleichung a + y*) = l - X. 
Unter Verzicht auf die Realität der Darstellung bringt 
man durch die Substitution 
öj p 0 X; = p 0 Y\ 0 3 QqZ\ 0^ g Q i 
die Gleichung der Einheitskugel auf die Normalform (3) 
X>ö, a = 0; 
Sitzungsb. d. matli.-phys. Kl. Jabrg. 1919. 
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