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M. Lagally 
Rückkehrkante die entsprechende Kurve v auf F x bildet; ebenso 
bestimmen die Tangenten einer Kurve u von F eine abwickel- 
bare Fläche, deren Rückkehrkante eben diese Kurve u ist und 
deren Ebenen F x längs der entsprechenden Kurve u berühren. 
In gleicher Weise kann man F zur ersten Brennfläche 
einer Kongruenz machen, die von den Tangenten der Kurven v 
von F gebildet ist. Die Koordinaten der 2. Brennfläche wer- 
den dann durch die Laplacesche Transformation 
3 0 
0_i = — - 4- bQ r erhalten. 
’ 3u 
Beide Transformationen lassen sich fortsetzen, indem man 
wieder F j bzw. F_ x zur ersten Brennfläcne einer Strahlenkon- 
gruenz macht, die auf F t bzw. F_ 2 führt usf. Ist die zu F 
gehörige Laplacesche Gleichung vom Range i + 1 hinsichtlich 
einer der beiden Veränderlichen, bricht also die Reihe der 
Transformierten nach i Operationen ab, so artet die mit Fi als 
erster Brennfläche konstruierte Kongruenz in der Weise aus, 
daß ihre 2. Brennfläche eine (im allgemeinen doppelt gekrümmte) 
Kurve wird. 
Der Satz, daß eine Laplacesche Gleichung, welche vier 
durch eine quadratische Beziehung verbundene Integrale be- 
sitzt und welche hinsichtlich der einen Veränderlichen von end- 
lichem Rang r t ist, auch hinsichtlich der anderen Veränder- 
lichen von endlichem Rang r 2 ist, wobei r 2 — r 1 2 ist, hat 
also folgenden geometrischen Sinn. Die beiden Kurven- 
scharen eines Orthogonals jstems auf der Kugel dienen 
alsAusgangzweierReihenvonStrahlen-Kongr uenzen, 
deren 1. Brenn fläche in beiden Fällen die Kugel ist. 
Wenn die eine Reihe nach einer endlichen Anzahl von 
Operationen auf eine in eine Kurve ausgeartete 
letzte Brennfläche führt, so gilt das gleiche für die 
2. Reihe nach einer endlichen Anzahl von r 2 Opera- 
tionen, wobei r 2 — r, <42 ist (vgl. Fig. S. 140). 
6. Es sei jetzt P, (^«.i, -s'«, 2 , 3, ^,4) ein Punkt einer Brenn- 
fläche Fi , die nach i Operationen aus der Kugel hervorgeht, 
