Über orthogonale Kurvensysteme in der Ebene. 
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ebenso 2 , z~i, 3 , ^-,, 4 ) der entsprechende Punkt 
einer Brennfläche P_,, die ebenfalls nach i Operationen, aber 
unter Verwendung der anderen Kurvenschar, aus der Kugel 
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erhalten wird. Wegen „ = 0 liegt P_, in der Polar- 
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ebene von P, und umgekehrt. Die Ebenen-Koordinaten |j, f 2 , 
£ s , | 4 der Tangentialebene von P, in P, sind durch die drei 
Gleichungen bestimmt : 
= 0; £,£,^ = 0; = 
1 1 a» 1 au 
Wegen 
4 4 _ 4 . 
\ ' n V Z(,Y A X ' O Ziy 
^ V ^ — i, V 0 1 V ~ ~ ^ — f y 0 ! ~ ^ — f y — — 0 
1 1 dU 1 dV 
ist '’l • $2 • ^3 • £4 == Z—i t \ Z—j'2 I Z — 3 • Z—^ 4. 
Die Ebenenkoordinaten von P, sind also den Punkt- 
koordinaten von P_ , proportional und umgekehrt. 
Die Flächen P, und P_,- liegen in Bezug auf die 
Ausgangskugel polar. P_,- wird von den Polarebenen der 
Punkte von P< umhüllt; die Punkte von P_,- sind die Pole 
der Tangentialebenen Won P,. 
Sowohl Fi als F-i werden durch z i<v und Z- iiV in 
doppelter Weise, in Punkt- und Ebenen-Koordinaten, 
dargestellt. Diese Dualität gilt ohne Zwang, so lange P, 
und F-i oo* Punkte und 00 4 Tangentialebenen besitzen; für 
die Endglieder der Reihen von Brennflächen, bei denen ein 
Ausarten in eine Kurve oder abwickelbare Fläche eintritt, sind 
besondere Betrachtungen nötig. 
Die gleiche Polarreziprozität gilt für zwei Strahlenkon- 
gruenzen, welche P, und P,-.j-i bzw. P_, und P_,_j zu Brenn- 
flächen haben. Insbesondere sind die beiden Strahlensysteme, 
welche die Kugel selbst zur ersten Brennfläche haben, zur 
Kugel polar; entsprechende Strahlen sind aufeinander senk- 
rechte Tangenten der Kugel. 
Auf Grund dieser allgemeinen geometrischen Überlegungen 
werden nun die oben aufgestellten 3 Typen gesondert behandelt. 
