Über orthogonale Kurvensysteme in der Ebene. 
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Hieraus folgt in Punktkoordinaten ( x , y, z): 
x pU 2 — y P U l — 0; z- p V i — F, = 0 
und in Ebenenkoordinaten (f, rj, C) 
£- p U 2 — y-p U x = 0; C P V 4 — Fj = 0. 
Daraus ergeben sich folgende geometrische Eigenschaften 
für die transformierten Flächen F p und F- p : 
Auf F p liegen die Kurven u in Ebenen, die ein 
Büschel mit der z Achse als Achse bilden; längs der 
konjugierten Kurven v wird F p von Kegeln berührt, 
deren Spitzen die ,?Achse erfüllen. 
F^p wird längs der Kurven u von Zylindern be- 
rührt, die zur#2/Ebene parallel sind; die konjugierten 
Kurven v liegen in zur #t/Ebene parallelen Ebenen. 
Eine weitere Laplacesche Transformation ergibt 
V V 
r ji Y n • 
y(' 2 P + *) 
V 0 } -f - 1 , TT 
Vi y'i • 
• • yf p+1} 
y m y'm ■ 
. y ( : p+i) 
u v ul . 
. u? p+1) 
Q—p— 1,V 
X\ . 
. . 4 2p+1) 
X, n X„, . 
„(2 P + 1) 
. . Js m 
*Pv {F) 1 ^ — p — 1,7t fl» 
F P + 1 und F-p - 1 arten also, wie auch die geometrische 
Betrachtung der Strahlensysteme, welche F p und F- p zur 
ersten Brennfläche haben, unmittelbar ersehen läßt, in die 
z Achse bzw. die oo ferne Gerade der x y Ebene aus. Es mag 
darauf hingewiesen werden, daß die besondere Lage dieser 
beiden Geraden eine Folge der gewählten Normierung der 
tetrazyklischen Koordinaten ist; ohne diese würden sich zwei 
beliebige, zur Ausgangskugel polare Gerade ergeben. 
F p - 1 und F-P + 1 sind die ersten Brennflächen in den 
Strahlensystemen, welche F p und F- p zu zweiten Brennflächen 
