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F. Lindemann 
§ I. Homogene Koordinaten in der komplexen Ebene. 
Bedeuten a, die Winkel, welche die Normalen zu den 
Seiten des gegebenen Dreiecks mit der X-Axe bilden, und 
Pi die Längen der Normalen, so sind die Groben 
(1) Xi = — ( x cos a, -J- y sin a, — p,) für i = 1,2,3 
die Abstände des Punktes x, y von den Seiten des Dreiecks 
und können als homogene Koordinaten desselben in Anspruch 
genommen werden. Liegt der Anfangspunkt x = 0, y = 0 
im Innern des Dreiecks, so sind die Xi positiv für einen inneren 
Punkt. Bei passender Lage des Axensystems sind dann die 
Winkel <p l , cp 2 , cp 3 des Dreiecks durch die Gleichungen 
71 = T, + a s — a « = Ti + °i + 2 71 — a s = Ti + «2 — «1 
<Pl = «2 — °3 + 31 > Ti = a s — «1 — Ti = «1 — «2 + 71 
gegeben. Die Auflösungen der Gleichungen (1) lauten: 
~p Agj ~ 4 ~ A31 #3 -^22^2 -^ 32^3 
“i” -^23®» "P -^33'^'3 "P ■^'ii^'i "P -^33^S 
( 2 ) 
(3) * 
wo nun: 
A u = p 2 sin a 3 — p 3 sin a 2 , A 22 = p l cos a 3 — p 3 cos a x , 
^33 = sin (a 2 — a,) = sin <p„ 
A l2 — Pi cos a 2 — P 2 cos a 3’ ^is =sin< Pi> Ä n = sin<p s , 
A 21 = p 3 sin «j — yjgsinctg, A S1 = p 3 cos a, — cosa 3 , 
^32 = Pi cos a s — Pi cos <V 
Setzen wir also, wie im folgenden immer: 
(4) Si, = sin (p k , A k = e 1 “* für Je = 1, 2, 3; i = ]/ — T, 
so folgt aus (3) 
x^ x 2 x 3 
(5) (x + iy) (s i x l -f s 2 x 2 + s 3 x 3 ) = — i p l p 2 p 3 , 
Aj A s A 3 
wobei die zweite Klammer der linken Seite bekanntlich dem In- 
halte des Dreiecks proportional und gleich einer Konstanten ist. 
