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F. Lindemann 
Das Doppelverhältnis o von vier Punkten z, z\ z“, z“‘ 
der komplexen Ebenen ist bekanntlich 
( 9 ) 
In homogenen Koordinaten wird dieses Doppel- 
verhältnis nach (8) 
( xx"A) (x , x , “A) 
K ’ (XX 1 " Ä) (x‘x‘'A)' 
wenn den Punkten z, z 1 , z ", z in bzw. die homogenen Koordi- 
naten Xi, Xi, Xi, Xi zukommen. 
Besonders ausgezeichnet ist der Fall eines reellen Doppel- 
verhältnisses. Lassen wir die Punkte x‘, x“, x“‘ mit den Ecken 
des Dreiecks, also bzw. mit den Punkten 
( 11 ) 1 , 00 ; 0 , 1 , 0 ; 0 , 0 , 1 
zusammenfallen, so wird 
( 12 ) 
X \ ^3 #3 A, A 2 
x 2 A t — x , A 2 A 3 
Soll dasselbe reell sein, so erhält man durch einfache Um- 
formungen die Bedingung: 
s 1 x 2 x s -f- s 2 x 3 x x -f- s 3 x x x 2 — 0; 
das ist also die Gleichung des dem Dreieck umgeschriebenen 
Kreises, wie vorauszusehen war. 
Ausgezeichnet und für die Gestalt des Dreiecks cha- 
rakteristisch ist das Doppelverhältnis sein er drei Ecken 
mit dem unendlich fernen Punkte der komplexen Ebene. 
Setzen wir in (9) z = oo, so wird nach (5) und (8) das Doppel- 
verhältnis von drei Punkten mit dem unendlich fernen 
Punkte: 
z‘ — z“‘ ( x‘x“‘A ) s x - 
° ~ z‘ ~z“ = (x‘x“Ä) ' v-' 
