Binäre kubische Formen und Dreiecksgeometrie etc. 
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Die drei Punkte (15), (16) und (17) liegen bzw. auf den 
Geraden : 
(18) s 3 x 2 — s 2 x 3 = 0, s x x 3 — s 3 x l = 0, s 2 x t — Sj x 2 = 0, 
den vierten harmonischen Geraden zu den Tangenten des Um- 
kreises in den Ecken, welche sich bekanntlich im Gr eb eschen 
(Lemoineschen) Punkte schneiden. Die gefundenen drei Punkte 
scheinen sonst nicht weiter beachtet zu sein. 
Viertens ersetzen wir die linke Seite von (14) durch den 
reziproken Wert des dritten Doppelverhältnisses (13) und finden : 
s, (x, ~P x 2 e^') = s 2 (x, e~ » — x 3 e' 1 ' ') 
und hieraus: 
x 1 s 3 c 2 -h^ 2 s,c 3 + x 3 s 2 c l = 0, 
X i ^ s 3 -j- X 2 Sj s 3 -p x 3 s 2 Sj = 0 , 
also: 
qx x = s, s 2 sin (9^3 — W»)» Q ^ = s 2 s 3 sin (<Pi ~ ^s) > 
(! 8 ) g x 3 = s 3 s, sin ( cp 2 — cp 3 ). 
Gehen wir endlich von dem reziproken Werte des zweiten 
Doppelverhältnisses (13) aus, so ergibt sich 
oder: 
s 3 (x x ew * — x 2 e~ ** *) = s, (x x + x 3 e~ v* ') 
(19) 
also: 
x x s 2 c 3 -p x 2 s 3 Cj -p x 3 Sj c g 0 , 
Xj ^2 «S ^2 ^3 ^1 ^3 S 1 ^2 == 0 > 
( 20 ) 
QX x = Sj s 3 sin (99, —<P 2 ), qx 2 = Sg Sj sin (<p 2 — cp 3 ), 
qx 3 = s 3 s 2 sin (cp 3 99,). 
Die beiden Punkte (18) und (20) liegen auf der Lemoine- 
sohen Geraden, d. h. auf der Kordalen des Büschels von Kreisen, 
welche die drei Apollonischen Kreise orthogonal schneiden 1 ). 
Auf ihre sonstige Bedeutung kommen wir im nächsten Para- 
graphen zurück. 
b Vgl. hier und im folgenden meine Darstellung der Dreieekgeometrie 
in den „Vorlesungen über Geometrie nach Clebsch“, Bd. I, 2. Aufi., S. 312 ff., 
1906. Die dort gemachten Literaturangaben seien ergänzt durch den 
Hinweis auf die Königsberger Inauguraldissertation von Berkhan: Zur 
projektivischen Behandlung der Dreieckslehre, Leipzig 1905. 
