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F. Lindemann 
§ 3. Die dem Mittelpunkte des Umkreises assoziierten Punkte. 
Metrisch ausgezeichnet sind ferner diejenigen sechs ein- 
ander assoziierten Punkte, welche mit den Ecken des Dreiecks 
Doppelverhältnisse bilden, die zu den im vorigen Paragraphen 
betrachteten Doppelverhältnissen konjugiert imaginär sind. Be- 
kanntlich haben zwei Punkte konjugiert imaginäre Doppel- 
verhältnisse, wenn sie auseinander durch eine Transformation 
mit reziproken Radien an dem Umkreise des Dreiecks her- 
vorgehen. 
Dem unendlich fernen Punkte entspricht so der Mittel- 
punkt des Umkreises; die homogenen Koordinaten des letztem 
sind bekanntlich c x , c 2 , c 3 ; und aus (14) ergibt sich in der Tat: 
c, + e s erni = c, + c 3 (c 2 — is 2 ) = Sg g _ Vii 
c 1 -j-c 2 e^ i c l -f- c 2 (c 3 -j- i s 3 ) s 3 
d. h. konjugiert imaginär zu dem ersten Werte (13). Der 
Punkt#, welcher dem reziproken Werte entspricht, ergibt sich aus 
s 2 (#, + # 3 e~ v * ') = s 3 e'f * ' (#, -f- x 2 e'K •') = s 3 {x x ef’* * — x 2 e~ « ') 
oder: 
[^2 ^3 ^1 * ^3 ”1” ^2 (^3 ^2 ^ ^3 ^ 2 ) ”1” ^3 (^2 ^2 * ^ 2 ) = 
also : #j c 3 -p # 2 s 3 c 2 -p x 3 s 2 c 2 = 0, 
#1 S, s 3 -p # 2 s 3 s 2 -p # 3 s\ = 0 
und somit: 
(21) QX j 0, Q X 2 S 2 , q 3 = s 3 . 
Der zum dritten Werte (13) konjugierte Wert führt ebenso 
zu den Gleichungen 
s 3 <?, -p x 2 s 2 c 3 -p #3 Sj c, 0, 
x x Sj s 3 ~P x 2 s 2 s 3 -p #3 s x = 0. also : 
(22) qx x = s, , qx 2 = 0, qx 3 = — s 3 . 
Das zum zweiten Werte (13) konjugierte Doppelverhältnis 
ergibt: 
s, (#, e ?<“* ' — x 2 e vi •) = s 3 (#, -p x 3 e~ '<■* ') , 
