Binäre kubische Formen und Dreiecksgeometrie etc. 
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oder : 
**1 («3 ^2 
) t " ^2 S 1 *1 ~ f * “*3 ^3 ^2 6, 
■*1 ^2 "" t ” **2 
-J- x 3 s 2 s 3 — 0, also: 
(23) 
QX t = S, , 
Q X 2 = S 2 , Q x 3 — 0. 
Nehmen wir endlich den konjugierten Wert zum rezi- 
proken Werte des zweiten Doppelverhältnisses (13), so wird: 
s 3 C*i + *2 **0 = S 1 («i + •%>, 
oder . (Sg Sj c 2 ) ~\~ ® 3 ^ 3 ^3 == 6, 
s i s 2 — «3 = 0, 
und hieraus 
(24) gx 1 =s 1 s%, gx 2 = s 2 s\, gx 3 = s 3 s 2 2 
und ebenso ergibt der konjugierte Wert des reziproken Wertes 
zum dritten Doppelverhältnisse (13): 
und somit 
i( . x 1 -)- x 3 e~ w ' 
x x -f- x 2 e c ?i * 
(25) e # 1 = s 1 S2, gx 2 = s 2 sl, qx 3 =s 3 sI. 
Die Werte (21), (22) und (23) sind bekanntlich die Koor- 
dinaten der Mittelpunkte der drei Apollonischen Kreise, und 
in (24), (25) haben wir die Koordinaten der beiden Brocard- 
schen Punkte gefunden *). Diese Punkte erscheinen also als 
simultane Kovarianten der Ecken des Dreiecks und des unend- 
lich fernen Punktes. 
Dem Mittelpunkt des Umkreises sind daher in 
obigem Sinne assoziiert: die beiden Brocardschen 
Punkte und die Mittelpunkte der drei A p ollo n ischen 
Kreise. 
Damit ist auch die Bedeutung der im vorigen Paragraphen 
gefundenen ausgezeichneten Punkte klar gestellt: Die fünf 
Punkte (15), (16), (17), (18) und (20), die dem unendlich 
fernen Punkte assoziert sind, findet man durch eine 
Transformation reziproker Radien in Bezug auf den 
0 Vgl. „Vorlesungen“, a. a. 0., S. 318 und S. 322 f. 
