156 
F. Lindemann 
Umkreis aus den Zentren der drei Apollonischen Kreise 
und aus den beiden Brocardschen Punkten. 
Beiläufig ergibt sich hier der Satz: Der Kreis, welcher 
durch diese Transformation der reziproken Radien aus 
der Lemoineschen Geraden entsteht, geht durch die 
beiden Brocardschen Punkte. 
Da ferner die drei Punkte (21), (22), (23) auf der Lemo- 
ineschen Geraden liegen, so folgt weiter: 
Die drei dem unendlich fernen Punkte assoziierten Punkte 
(15), (16), (17) liegen auf dem Kreise, welcher aus der Lemo- 
ineschen Geraden durch die erwähnte Transformation hervor- 
geht, sind also Schnittpunkte dieses Kreises mit den drei 
Kreisen, welche man mittels derselben Transformation aus den 
Seiten des Grunddreiecks erhält, und zugleich Schnittpunkte 
dieses Kreises mit den Linien (18). 
Die einem beliebigen Punkte der Ebene assoziier- 
ten Punkte lassen sich nun leicht finden, indem man den 
Mittelpunkt des Umkreises durch eine die Grundform f unge- 
ändert lassende lineare Transformation an eine beliebige Stelle 
der Ebene bringt. 
Die hier dargelegten Beziehungen kann man auch dahin 
aussprechen, daß die sechs einander assoziierten Punkte sich 
untereinander vertauschen, wenn man durch lineare Transfor- 
mation der Variabein z die Ecken des Dreiecks ineinander über- 
J ) Das Doppelverhältnis von vier Punkten bestimmt die Gestalt 
des Fußpunktdreiecks eines dieser Punkte in Bezug auf das Dreieck der 
drei anderen. Die nahe Beziehung zwischen dem Zentrum des Umkreises 
und den beiden Brocardschen Punkten macht sich deshalb auch bei 
Untersuchung der Fußpunktdreiecke bemerkbar; vgl. Schick, Isogonal- 
zentrik und Invariantentheorie, diese Sitzungsberichte, Bd. 30, 1900. 
S. 259 f.; für den Fall eines gleichseitigen Dreiecks bemerkt sie auch 
Godt: Über einige merkwürdige Punkte des Dreiecks, 11, Programm des 
Katharineums zu Lübeck, 1903. Man kann allerdings jedes Dreieck in 
ein gleichseitiges transformieren (wie es auch Klein in seinem Pro- 
gramm von 1872 tut), dadurch legt man aber das Doppelverhältnis des 
unendlich fernen Punktes als ein äquianharmonisches fest und verdeckt 
die allgemeinen Beziehungen. 
