Binäre kubische Formen und Dreiecksgeometrie etc. 
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führt. Allen sechs Punkten kommen also im Sinne der Inva- 
riantentheorie wesentlich die gleichen Eigenschaften zu. Hier- 
aus ergibt sich die Konstruktion der einem beliebigen 
Punkte P assoziierten fünf Punkte in folgender Weise: 
Die Ecken des Dreiecks seien mit E x , E 2 , P s bezeichnet. 
Man lege dann den Kreis P — E x — E 2 durch P, P, und P 2 , 
ebenso den Kreis P — E 2 — P 3 und den Kreis P — P 3 — E x \ 
ferner konstruiere man einen Kreis K x , der durch E 2 und P 3 
geht und P — P 3 — P, in P 3 berührt, dann einen Kreis K 2 
durch P 3 und E 1 , der P — E 1 — E 2 in E x berührt, und einen 
Kreis K 3 durch E x und P 2 , den P — E 2 — P 3 in E 2 berührt; 
diese Kreise K x , K 2 , K z schneiden sich dann in einem der fünf 
zu P assoziierten Punkte, und zwar in demjenigen, welcher mit 
Pj, P 2 , P 3 das Doppelverhältnis (1 — a) -1 , oder in demjenigen, 
der mit P, , P 2 , P s das Doppelverhältnis ( n — 1) a -1 bildet, wenn 
a dem Doppelverhältnisse der Punkte P, P, , P 2 , P 3 konjugiert 
ist. Die anderen drei assoziierten Punkte ergeben sich dann 
leicht. 
Legen wir z. B. P in einen Brocardschen Punkt, etwa 
in den Punkt (24) und ist o der zu dem Doppelverhältnisse 
des unendlich fernen Punktes konjugierte Wert (d. h. gleich 
dem Doppelverhältnisse des Zentrums des Umkreises), so ist 
nach obigem a = (1 — o) -1 , also (1 — o) -1 = (o — 1 ) o _l ; d. h. 
die konstruierten drei Kreise schneiden sich in dem andern 
Brocardschen Punkte. Wählt man dagegen die Konstruktion 
der Kreise K x , X 2 , K % von P aus im anderen Sinne, so wird 
( a — 1) a~ l = (o — 1) o~ l , also a = o, d. h. und die Kreise 
arten aus in die Seiten des Dreiecks. 
§ 4. Die lineare Polare eines Punktes. 
Bezeichnen wir die Grundpunkte der kubischen Form f 
wieder mit z‘ , z“, z“\ so genügt der Pol £ eines Punktes z 
der Gleichung: 
(2b) (C ~ S>) ~ S " ] (S ~ 3 “ ,] + Z ‘ } (C “ Z “ ] (Z ~ ^ 
-f (z- z‘) {z - z“) (£ - z‘“) — 0. 
