Binäre kubische Formen und Dreiecksgeometrie etc. 
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Die quadratische Polare des Schnittpunktes der 
Mittellinien besteht demnach aus dem unendlich fernen 
Punkte und dem Mittelpunkte des Umkreises. Hier- 
aus folgt allgemein: 
Die beiden Punkte der quadratischen Polare eines 
beliebigen Punktes liegen invers in Bezug auf den 
Umkreis. 
Außerdem sind sie bekanntlich harmonisch zu den beiden 
isodynamischen Zentren (Schnittpunkten der drei Apolloni- 
schen Kreise), welche die Nullpunkte der Hesseschen Ko- 
variante A darstellen. Um ihre Konstruktion zu bewerkstelligen, 
gehen wir davon aus, daß der Schnittpunkt der Mittellinien 
auf der Euler sehen Geraden (die auch den Höhenschnittpunkt 
und das Zentrum des Umkreises enthält) liegt und daß diese 
Gerade der Ort der Mittelpunkte aller Kreise des Büschels 
s l x i x 3 -f s 2 x a x t + s s x 1 x 2 + X(e l x l + c 2 x 2 + e a x 9 ) (s i x 1 
(30) + + s 3 *s) = 0 
ist (mit der gemeinsamen Chordale S c, = 0). Diese Ge- 
rade schneidet also alle Kreise des Büschels und insbesondere 
den Umkreis (X — 0) und den Polarkreis (X — 1) des Dreiecks 
orthogonal. Macht man eine beliebige lineare Transformation 
von z, welche die binäre kubische Form (d. h. die Ecken des 
Dreiecks) ungeändert läßt, so bleiben die beiden erwähnten 
Kreise des Büschels ungeändert. Die Eulersche Gerade geht 
also in denjenigen Kreis K über, welcher diese beiden Kreise 
orthogonal schneidet und durch den beliebigen Punkt P geht, 
in welchen der Schnittpunkt der Mittellinien übergeführt werden 
mag. Auf letzterem Kreise liegen die beiden gesuchten Punkte 
der quadratischen Polare von M, und zwar invers zum Um- 
kreise. Es sind also die beiden Punkte, welche gleich- 
zeitig harmonisch liegen zu den Schnittpunkten des 
Kreises K mit dem Umkreise und zu den beiden iso- 
dynamischen Zentren (Punkten A = 0), und als solche 
sind sie in bekannter Weise zu konstruieren. 
