Über unendliche Kettenbrüche mit komplexen Elementen. 397 
gebung“ I a — a v \ r, welche nicht nur alle bisher gefundenen 
umfaßt oder überragt, sondern auch den speziellen Vorzug 
besitzt, nicht, wie jene, gleichzeitig mit a gegen Null abzu- 
nehmen, und auch für a = 0 Geltung behält 1 ); doch erfordert 
die vollständige Einordnung dieses Falles in das Hauptresultat 
die Heranziehung des bekannten Konvergenzkriteriums \ a v <^ 2 ). 
Zugleich erkennt man, daß der auf diese Weise für a = 0 
zum Vorschein kommende Umgebungsradius a v | = wirklich 
mit diesem Werte sein Maximum erreicht, da ja der periodische 
(a > 0) bereits divergiert. Aus dem- 
Kettenbruch 
t a 
*) Nur die Pidollsche Fassung kann leicht dahin ergänzt werden, 
daß sie auch für a = 0 eine Umgebung liefert. 
2 ) Vgh Pringsheim, Diese Berichte, Bd. 28, 1898, S. 295—324, 
insbesondere S. 322. Daselbst gibt Herr Pringsheim unter anderem 
die Konvergenzbedingung 
«2 <1, a vl ^i(v^ 3), 
wobei er später (Diese Berichte, Bd. 35, 1905, S. 359 — 380, insbesondere 
S. 369 — 372) auch den Fall |a 2 | — % berücksichtigt. Es ist erwähnens- 
wert, daß das Konvergenzkriterium | a v | = f (»’ = 2) schon J. Slechinsky 
(Memoires de la section mathematique de la societe des naturalistes de 
la Nouvelle-Russie, Odessa, Bd. X, 1889, S. 201 — 255) gefunden hat. 
Soweit ich aus den Formeln der in russischer Sprache geschriebenen 
Arbeit ersehen konnte, geht Slechinsky, ebenso wie Herr Pringsheim, 
von dem Konvergenzkriterium 
|5„!^|a„ +1, v = 1, 2, 3, . . . 
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für den Kettenbruch J aus > un d sein Beweis für dieses Kriterium 
scheint dem Pringsheimschen ganz analog zu sein. Übrigens kann 
das Kriterium a, | = i (r = 2) schon einer viel älteren Arbeit von 
J. Worpitzky [Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen 
und monogenen Funktionen durch Kettenbrüche. Friedrichs-Gymnasium 
und Realschule, Jahresbericht (S. 3—39), Berlin 1865; insbesondere § 22] 
entnommen werden. — Ohne Hinzuziehung dieses Kriteriums erhalte 
ich allenfalls noch alle inneren Punkte des Kreises mit dem Radius i, 
d. h. die Konvergenz-Umgebung a v | = -^ , wo 0 < o < 1. Vgl. hierzu 
die Fußnote auf S. 403. 
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