420 
A. Pringsheim 
Während der Weierstraßische Beweis auf dem Umstande 
beruht, daß die obere Grenze JR jener Umgebungsradien q mit 
der Stelle a sich stetig ändert und daher in (B) ein Minimum 
straßischen Definitionen der gleichmäßigen Konvergenz knüpft. Nach- 
dem er dort (S. 20) im Text, unter ausdrücklichem Hinweis auf die in 
unserer Fußnote 1) angeführte Stelle, die Weierstraßische Definition 
der gleichmäßigen Konvergenz in einem Bereiche erwähnt hat, fügt er 
in einer Fußnote (a. a. 0. 32) folgendes hinzu: .Eine andere Definition 
der gleichmäßigen Konvergenz hat Weierstraß in seinen Vorlesungen 
gegeben, wonach s ( z , a) in einem Punkte z = z 0 gleichmäßig konver- 
gieren soll, wenn a gegen a konvergiert, falls in einer gewissen Um- 
gehung des Punktes z 0 die Bedingungen der im Text gegebenen Definition 
erfüllt sind.“ Hierzu ist vor allem zu bemerken: diese angeblich „andere“ 
Vorlesungs-Definition ist ja genau dieselbe, die Weierstraß auch in 
jener Abhandlung (und zwar mit voller Absicht neben derjenigen der 
gleichmäßigen Konvergenz in einem Bereiche) gegeben hat, nur nennt 
er daselbst etwas zweckmäßiger gleichmäßige Konvergenz in der Nähe 
von z 0 , was er in der Vorlesung als solche im Punkte z 0 bezeichnet haben 
soll. Herr Osgood, der dies sonderbarer Weise völlig übersehen zu 
haben scheint, sucht nun des weiteren ganz mit Unrecht einen Wider- 
spruch zwischen jenen beiden Definitionen der gleichmäßigen Konver- 
genz zu konstruieren, indem er a. a. 0. fortfahrt: .Nach dieser letzten 
Definition konvergiert insbesondere eine Potenzreihe innerhalb ihres 
Konvergenzkreises stets gleichmäßig; nach der ersten Definition ist dies 
im allgemeinen nicht der Fall.“ Die erste dieser beiden Behauptungen 
ist aber in dem vorliegenden Zusammenhänge durchaus hinfällig. Sie 
wäre nämlich nur dann richtig, wenn man auf Grund der Weier- 
straßischen Festsetzungen die gleichmäßige Konvergenz in einem Be- 
reiche und diejenige in der Nähe jeder einzelnen Stelle (bzw. in jedem 
Punkte ) des betreffenden Bereiches von vornherein als gleichivertig anzu- 
sehen hätte. Daß indessen hiervon keine Rede sein kann, geht ja un- 
zweideutig daraus hervor, daß Weierstraß es (mit Recht) - für not- 
wendig hält, die Äquivalenz beider Definitionen für den Fall eines ab- 
geschlossenen Bereiches — und nur für einen solchen — ausdrücklich zu 
beweisen. Im übrigen sind ja analoge Unterscheidungen für die Weier- 
straßische Terminologie geradezu charakteristisch. Danach braucht z. B. 
eine Funktion, die an jeder Stelle eines Bereiches endlich ist, noch nicht 
im Bereiche selbst endlich (d. h. beschränkt nach neuerer Ausdrucksweise) 
zu sein. Und eine für jede Stelle eines Bereiches stetige Funktion ist 
zwar im Bereiche ( gleichmäßig ) stetig, wenn derselbe ein abgeschlossener 
ist, braucht es aber im entgegengesetzten Falle wiederum nicht zu sein. 
(Vgl. Enzykl. d. Math. Wissensch. II A 1 : Nr. 6 und 9, I.) 
