Über singuläre Punkte gleichmäßiger Konvergenz. 421 
besitzen muß 1 ), welches dann auf Grund der Voraussetzung 
von Null verschieden ist, habe ich späterhin einen anderen 
] ) Ich möchte diese Gelegenheit benützen, um zu völliger Klar- 
stellung dieser auch für andere ähnliche Zwecke verwendeten Beweis- 
methode folgendes zu bemerken. Im zunächst vorliegenden Falle geht 
Weierstraß von der Voraussetzung aus, daß auch für jeden der Be- 
grenzung des Bereiches (B) angehörigen Punkt eine vollständige d. h. 
kreisförmige Umgebung gleichmäßiger Konvergenz existiert; mit anderen 
Worten, daß der abgeschlossene Bereich (B) im Innern eines anderen 
Bereiches liegt, dessen Innenpunkte ausnahmslos die fragliche Eigen- 
schaft besitzen. In diesem Falle ist jene obere Grenze R der Umgebungs- 
radien eine eindeutig definierte Funktion der Punkte a (die sich dann 
mit a stetig ändert). Anders liegt aber die Sache, wenn für die Punkte 
der Begrenzung als Umgebung, innerhalb deren die gleichmäßige Kon- 
vergenz bzw. irgend eine andere Voraussetzung besteht, nur derjenige 
Teil einer Kreisfläche in Betracht kommt, welcher zum Bereiche (B) ge- 
hört, wie dies z. B. bei dem bekannten Lürothschen Beweise für die 
gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion zweier reeller Variablen der Fall 
ist (Math. Ann. 6 [1873], S. 318). Daselbst findet sich sogar eine Be- 
merkung, deren Form zunächst geeignet erscheint, an der Haltbarkeit 
der ganzen Schlußweise gewisse Zweifel aufkommen zu lassen. Nach- 
dem nämlich die Stetigkeit von f{x, y ) in der Weise definiert ist, daß 
im Innern eines um den Punkt (x, y) mit einem gewissen Radius g (x, y) 
beschriebenen Kreises die Schwankung der Funktion einen gewissen 
Kleinheitsgrad e nicht übersteigt, heißt es weiter: „Auch für Punkte in 
der Nähe oder auf der Grenze des Bereiches, für welchen die Funktion 
definiert ist, läßt sich die Definition anwenden, wenn man nur diejenigen 
Teile eines Kreises betrachtet, welche in den Bereich fallen.“ Damit ist 
aber ein Dualismus geschaffen, der zu folgender Schwierigkeit führt. 
Hält man sich zunächst an die für „ nicht in der Nähe * der Grenze 
liegende Punkte (x, y) gültige Definition und bezeichnet die obere Grenze 
der Radien g ( x , y) mit R (x, y), so würde als Minimum der R ( x , y) 
für den gesamten Bereich die Null erscheinen. Um diesem Ubelstande 
zu entgehen, muß man also „in der Nähe * der Grenze zu jener zweiten, 
erweiterten Definition übergehen. Aber wo beginnt nun eigentlich die 
fragliche „ Nähe * der Grenze? Mit anderen Worten, bei dieser Fassung der 
erforderlichen Definitionen ist R (x, y) überhaupt gar nicht als eindeutige 
Funktion von (x, y) definiert. Um dies zu erzielen, hat man ohne Unter- 
schied R ( x , y) zu definieren als obere Grenze für die Radien g (x, y) solcher 
um {x, y) beschriebenen Kreise, deren zum Bereich gehörige Innenpunkte 
Funktions-Schwankungen vom Kleinheitsgrade s liefern. (Dabei können 
diese Kreise also nach Bedarf auch über den Bereich hinausragen.) 
