Über singuläre Punkte gleichmäßiger Konvergenz. 
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1,2,...) im Punkte x‘ gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem 
einzelnen e>0 die Bedingung: 
(B) ' \F{x)-F v {x)\<e 
durch Wahl von v^n e für alle Stellen einer gewissen Um- 
gebung von x‘, etwa: 
X X' \ < Q t ( X ‘ ) 
befriedigt werden kann. Besitzt dann g e ( x ‘ ) bei unbegrenzt 
abnehmendem e ein gewisses von Null verschiedenes Minimum , 
so ist die Folge der F v ( x ) zugleich in der Nähe von x‘ gleich- 
mäßig konvergent. Hat hingegen q f ( x‘ ) für e — » 0 die untere 
Grenze Null, so ist die Folge der F v (x) wirklich nur im 
Punkte x‘ (nicht in der Nähe von x‘) gleichmäßig konvergent. 
Ich will dann x‘ als singulären Punkt gleichmäßiger Konvergenz 
bezeichnen. Die Umgebung einer solchen Stelle x‘ kann also 
nicht ausschließlich aus Stellen selbst nur punktweise gleich- 
mäßiger Konvergenz bestehen, denn diese würden ja nach dem 
in Nr. 1 erwähnten Satze einen die Stelle x‘ umgebenden Be- 
reich gleichmäßiger Konvergenz konstituieren. Somit müssen 
in beliebiger Nähe eines (dem Konvergenzbereiche der Funk- 
tionenfolge angehörigen) singulären Punktes gleichmäßiger Kon- 
vergenz Stellen ungleichmäßiger Konvergenz liegen. Dabei kann 
sogar der Fall eintreten, daß die Umgebung von x‘ ausschließ- 
lich aus Stellen ungleichmäßiger Konvergenz besteht, so daß 
also x‘ geradezu als isolierter Punkt gleichmäßiger Konvergenz 
erscheint. Diese Verbindung der Eigenschaften „isoliert“ und 
„ gleichmäßig konvergent“ klingt zunächst paradox, findet aber 
ihr vollkommenes Analogon in der Tatsache, daß auch Stetig- 
&ei£spunkte völlig isoliert auftreten können 1 ). Da, soviel mir 
bekannt, arithmetische Ausdrücke mit solchen singidären Punkten 
gleichmäßiger Konvergenz bisher nicht bemerkt worden sind, so 
mag es vielleicht nicht ganz überflüssig erscheinen, wenn ich 
*) S. die französische Ausgabe der Enzyklopädie: II, 1 (Principes 
fondamentaux de la thdorie des Fonctions), Fußnote HO. Vgl. auch den 
Schluß von Nr. 4 dieser Mitteilung. 
