424 
A. Pringsheim 
im folgenden einige Beispiele dieser Art mitteile und schließ- 
lich den Nachweis hinzufüge, daß bei Folgen analytischer Funk- 
tionen das Auftreten singulärer Stellen gleichmäßiger Kon- 
vergenz im Innern ihres Konvergenzbereiches ausgeschlossen ist. 
3 . Es werde gesetzt: 
(1) 9 o (x) — cos* 
\x\ + E 
also: f 
(2) cp (0) = cos 1 7 i = 1 , cp (pc) = cos* ~~ für x =k 0. 
\x\ 
Definiert man sodann die Funktionenfolge F v (x ) (v = 0, 
1, 2, . . .) durch die Beziehung: 
( 3 ) F v (x) = x - cp ( x )” , 
so hat man: 
( 4 ) 
0 < F v (x) 
= \x\ für \x\ = . und x = 0, 
<C 'x\ für jedes andere endliche x. 
Die F r {x) sind also insgesamt in jedem endlichen Bereich 
beschränkt und überdies stetig, auch an der Stelle x = 0 , in 
deren Umgebung jedes F r (x) unendlich oft den Maximalwert x 
annimmt. 
Des weiteren ergibt sich : 
( 5 ) 
F(x) = lim F v (x) 
v-f® 
( = \x\ für \x\ — i, ^, . . . und x — 
| = 0 für jedes andere endliche x. 
0 , 
Die Grenzfunktion F{x) ist also unstetig für x\ = 
^, . . ., im übrigen, insbesondere auch für x = 0 stetig (und 
zwar = 0). 
Der für die Gleichmäßigkeit bzw. Ungleichmäßigkeit der 
Konvergenz maßgebende Wert von F(x) — F r (a;)j unterscheidet 
sich von F v {x) j nur dadurch, daß er an den Stellen ■ 
eine hebbare Unstetigkeit aufweist, indem daselbst statt des 
Wertes \x\ für jedes v der Wert 0 resultiert, dagegen, wie 
groß man auch v annehmen mag, in hinlänglicher Nähe jener 
Stellen F(cc) — F v (x) dem Werte \x\ beliebig nahe kommt. 
