Über singuläre Punkte gleichmäßiger Konvergenz. 
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Die Stellen (ju — 1, 2, 3, . . .) sind also Stellen ungleich- 
f l 
mäßiger Konvergenz, während die Folge der F r ( x ) in der Nähe 
jeder einer Bedingung von der Form — < hrj < — 
+ 1 t* 
genügenden Stelle gleichmäßig konvergiert. Die 0 erscheint also 
als Häufungsstelle beider Kategorien. Da aber für jedes v: 
F(0) — Fv(0) = 0 
und andererseits : 
F{pc) — F v (x) < s, wenn: \x\<Ce, 
so ist £ — 0 eine singuläre Stelle gleichmäßiger Konvergenz. 
4. Setzt man : 
(6) y(»-°)=. 1 ™r +W (| 1 a! 
so hat man für jedes reelle a : 
I = 1 , wenn: \x\ = a , 
(7) 
cp (x^i) 
| = 0 für jedes andere x. 
Nun bedeute a,, a 2 , . . . a*, ... irgend eine Folge posi- 
tiver Zahlen und es werde die Funktionenfolge F,. (x) definiert 
durch die Beziehung : 
V 
(8) Fr (x) = X • 2> cp (x, a x ), 
1 
so ergibt sich: 
(9) JV(*){“ 
= x für x\ 
a \ I a 2 1 • • • a v 1 
0 für jedes andere x, 
und sodann : 
, . ^ , , . . „ , ( = X für X\ = a. , a 9 , ... a,. .... , 
(10) F(x) = lim F v (x)\ 
v-+oo 1 = 0 lur jedes andere x. 
Da hiernach, wie groß man auch v annehmen mag: 
(11) \F(x) — F v (x) | = \x\ für \x\ = a v +i, a„ +2 , a,, +3 , . . . , 
so ist jede von x = 0 verschiedene Häufungsstelle der a x eine 
Stelle ungleichmäßiger Konvergenz für die Folge der F>, (x). 
