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A. Pringsheim 
Haben die a y nur die einzige Häufungsstelle 0, ist also lim a y = 0, 
X— ► 00 
so ist die Folge der F,.(x ) durchweg gleichmäßig konvergent. 
Denn wird e > 0 beliebig klein vorgescbrieben und darauf n 
so fixiert, daß a y < Cf für * > n, so hat man nach (11): 
(12 a) F(pc) — F v (x) | 5> a n < e für x < a n , 
während für x > a n geradezu 
(12 b) F{x) — F r {x) =0 
wird (übrigens ein ganz lehrreiches Beispiel dafür, daß die 
aus Ungl. (12 a) zunächst nur zu entnehmende punktweise gleich- 
mäßige Konvergenz au der Stelle x — 0 in Verbindung mit 
dem Umstande, daß in der Nähe von x = 0 keine Stellen un- 
gleichmäßiger Konvergenz liegen, die vollkommen gleichmäßige 
Konvergenz in der Nähe von x — 0 nach sich zieht, wie es ja nach 
dem in Nr. 1 erwähnten Satze tatsächlich der Fall sein muß). 
Wählt man dagegen für die a y irgend eine abzählbare 
Menge positiver Zahlen, die in irgend einem bei x — 0 be- 
ginnenden Intervall überall dicht liegen, so "finden sich in der 
Nähe von x = 0 nur Stellen ungleichmäßiger Konvergenz, 
während die Stelle# = 0 auf Grund der Beziehung (12 a) als 
singuläre , nämlich isolierte Stelle gleichmäßiger Konvergenz er- 
scheint. Versteht man z. B. unter den a y die Menge der p>osi- 
tiven rationalen Zahlen (in welchem Falle F{x) bei Beschrän- 
kung auf reelle x offenbar die mit x multiplizierte, total 
unstetige Dirichletsche Funktion vorstellt), so besitzt die 
Folge der F,.(x) überhaupt keine andere Stelle gleichmäßiger 
Konvergenz, als jene singuläre und zwar isolierte Stelle x = 0, 
welche übrigens auch den einzigen Stetigkeitspunkt der Grenz- 
funktion F (#) bildet. 
5. Eine besonders anschauliche Modifikation des zuletzt 
angeführten Beispiels gewinnt man in folgender Weise. Unter 
Beibehaltung der in Gl. (6) angegebenen Bedeutung der Funk- 
tion cp {x, a ) werde gesetzt : 
