Über singuläre Punkte gleichmäßiger Konvergenz. 
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\F(x)-F(x‘) ^ F n (x)-F n {x‘)\ + \F(x)-F n (x)\ 
(21) + F(x 0 - F n (x‘) < F„{x) - F n (x‘) | + 2 e. 
Da F n (x) regulär, also stetig an der Stelle x 1 , so läßt 
sich ein q < g e so fixieren, daß : 
(22) F„ (x) — F„ {x‘) < £ für x — x‘ <^q< g e , 
und es geht somit Ungleichung (21) in die folgende über: 
(23) F(x) — F ( x‘ ) j < 3 £ für x — x‘ | < g , 
welche zeigt, daß F ( x ) für \x — x‘\ beschränkt ist. 
Das gleiche gilt dann, wie aus Ungl. (20) hervorgeht, für die 
Gesamtheit der F v (x) zunächst, falls v>n, schließlich aber, 
mit Hinzunahme der (als regulär) gleichfalls beschränkten Funk- 
tionen F x (x), F 2 (x), ... F n -i(x), für die Gesamtheit aller 
F y ( x ). Daraus folgt aber mit Benützung eines bekannten von 
Herrn Vitali herrührenden Satzes 1 ), daß nach Annahme von 
£>'<£> die Folge der F v {x) im Bereiche x — x‘\ <^q' gleich- 
mäßig konvergiert. Hiermit ist die oben ausgesprochene Be- 
hauptung bewiesen, der man im übrigen mit Benützung der 
in Nr. 1 erklärten Terminologie auch die folgende Fassung 
geben kann : Liegt % l im Innern des Konvergenzbereiches der 
regulären Funktionenfolge {F y (x)) und steht nur soviel fest, 
daß die F v (x) im Funkte x‘ gleichmäßig konvergieren, so kon- 
vergieren sie auch in der Nähe von x‘ gleichmäßig. 
Es kann hiernach, ebensowenig wie einzelne singuläre 
Funkte gleichmäßiger Konvergenz, auch keine singidären Linien 
dieser Art geben, weder solche, die ganz in das Innere des 
Konvergenzbereiches fallen, noch solche, die sich bis an die 
Begrenzung erstrecken. In dieser Hinsicht liegen also hier 
die Verhältnisse etwas anders, wie bezüglich des etwaigen Auf- 
tretens von Stellen ungleichmäßiger Konvergenz in analogem 
Zusammenhänge. Allerdings ist auch, wie zuerst von Herrn 
ü Annali di Mat. (3), 10 (1904), p. 65. Ygl. den sehr schönen und 
einfachen Beweis des fraglichen Satzes von E. Lindelöf: Bull. Soc. 
Math, de France 41 (1913), p. 171. 
