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P. Lindemanri 
unter konstantem Winkel w schneiden; dann ist das Quadrat 
des Linienelementes ds von der Form 
(1) ds" 1 = d u 2 -f- 2 m cos w du do -f m 2 d o 2 , 
wo m eine Funktion von u allein ist. Wird derselbe Punkt durch 
eine andere Schar von geodätischen Linien r = Konst, und 
deren Trajektorien unter dem Winkel w‘ ( v = Konst.) bestimmt, 
so ist auch 
(2) ds 1 = d v 2 2 n cos iv‘ dvdr -p n 2 d t 2 , 
wo n eine Funktion von v allein ist. Führt man endlich die 
Parameter u und v ein, so werde 
(3) d s 2 = E du 2 2 F du d v G d v 2 , 
wo E, F , Gr Funktionen von u und v bedeuten. Es sei ferner 
(4) dv = n du -p ß da , 
dann wird: 
ds 2 — du 2 = (E — 1 2 F a -f- G u 2 ) d u 2 -p 2 (F ß 
-p Gaß) du do -p ß 2 G da 2 = 2 m cos w d u da - p m 2 d o 2 . 
Es ergibt sich also: 
E-G 2 Fa + Ga 2 = 1, 
ß(F -p aG) — m ■ cos«\ ß 2 G = m 2 , 
und hieraus : 
F -p a G = cos w; 1 G , 
(5) EG — F 2 = G- sin 2 ic. 
In analoger Weise wird die Transformation des Linien- 
elements von der Form (2) auf die Form (3) durch den Ansatz 
(6) du = y dv -p S dr 
vermittelt; und dann ergibt sich 
(7) EG — F 2 = E ■ sin 2 tc‘. 
Sei zur Abkürzung 
a 2 = sin*w, b 2 = sin’tr', 
so erhalten wir aus (3), (5) und (7), da aG = bE: 
