Die Verbiegung von geschlossenen u. offenen Flachen etc. 269 
dx[ -f dy\ + ds\ — dx 3 fl- dy 3 fl- dz 3 , 
wobei = x + ei, y, = y fl- e#/, = e fl- e£ 
gesetzt ist, das linkerhand mit dem Faktor t versehene Glied 
identisch gleich Null ist. Dies führt auf die Forderung 
dxd£ fl- dydi] dzd^ = 0, 
die ihrerseits in drei partielle Differentialgleichungen zerfällt. 
Nimmt man in der Darstellung der Ausgangsfläche x und y 
als unabhängige Veränderliche und bezeichnet man in üblicher 
Weise die ersten partiellen Differentialquotienten von z nach 
x und y mit p und q , deutet man im übrigen die Differen- 
tiation nach x und y durch die Fußmarken 1 und 2 an, so 
erhält man durch Nullsetzen der Koeffizienten von dx 3 , dy 3 
und dx dy in der geforderten Identität die drei Gleichungen 
in der Gestalt: 
£i + p£ i = 0i 
V 2 ?s 2 == 0 , 
Vi + K 2 = — £ 2 — «C, = v- 
Durch Differentiation und Elimination von £, 2 und rj 12 
folgt hieraus 
— = v’i. 
22 2^12 V’ 2 > 
und durch weitere Differentiation die partielle Differential- 
gleichung für C 
/ s 22 2 s ’Q ,2 ff" t s n == 0 , 
wobei r, s, t die zweiten Differentialquotienten von z bedeuten. 
Um eine „infinitesimale Verbiegung“ der gegebenen Fläche zu 
bestimmen, hat man diese Gleichung zu integrieren, findet dann 
aus den vorhergehenden Gleichungen 
V> = ${pdt 2 — qd'Q ,) 
und schließlich auch | und »7 durch Quadraturen. 
Für den Nachweis der Nichtverbiegbarkeit geschlossener 
konvexer Flächen eignet sich nun die Fläche, deren recht- 
winklige Koordinatenebene q und £ sind, viel weniger, als eine 
