Die Verbiegung von geschlossenen u. offenen Flächen etc. 281 
als ebene Kurve erhaltenden Verbiegungen zu, bei denen die 
Randelemente der Fläche ihren Neigungswinkel gegen die Ebene 
der Kurve zum Teil vergrößern, zum Teil verkleinern. — 
(Man gewinnt an Flächenkalotten aus Blech den Eindruck, 
als ob eine Verbiegung mit Erhaltung der ebenen Randkurve 
als ebene Kurve nicht möglich sei; die analytische Behandlung 
gibt bisher keinen Anhaltspunkt dafür, scheint vielmehr nichts 
über den soeben bewiesenen, mit mancherlei Bedingungen be- 
lasteten Satz Hinausgehendes zu liefern.) 
§ 2. Stetige Verbiegung konvexer Flächen. 
1. Kinematische Vorbetrachtungen. Aus der Unmög- 
lichkeit der infinitesimalen Verbiegung geschlossener konvexer 
Flächen kann durch eine einfache kinematische Betrachtung 
die Unmöglichkeit der stetigen Verbiegung erschlossen werden. 
Wir werden daran erinnern, daß mit jedem Paar isometrischer 
Flächen die infinitesimale Verbiegung einer dritten Fläche ge- 
geben ist, und wir werden dann weiter sehen, daß, wenn die 
beiden Flächen überall positives Krümmungsmaß besitzen, und 
dem angenommenen stetigen Verbiegungsvorgang entsprechend, 
einander hinreichend nahe liegen, die dritte Fläche, die soge- 
nannte Mittelfläche , ebenfalls überall positive Krümmung be- 
sitzt, also wegen des Jelletts chen Satzes keine infinitesimale 
Verbiegung, nur Bewegung zuläßt. Endlich ist zu zeigen, daß 
in diesem Falle die isometrischen Flächen kongruent sind. 
Die Betrachtungen kinematischer Natur sollen voran- 
geschickt werden. Die Bedingung der Isometrie oder Abwickel- 
barkeit zweier Flächen F (x, y, z ) und F l {x 1 , y,, z t ), also 
cl x\ -j- d y\ -f- d z\ = d x % + d xß -f- dz % 
läßt sich schreiben 
d C' 2~ * ) d ~ X) + d f ^ 
+ d ^' 0 
